جمهورية العراق وزارة التربية المديرية العامة للمناهج الجزء الثاني د. اأمير عبد المجيد جا سم د. منير عبد الخالق عزيز زينة عبد الأمير ح سين

Transcript

1 7 جمهورية العراق وزارة التربية المديرية العامة للمناهج الجزء الثاني سل سلة كتب الريا ضيات للمرحلة المتو سطة الريا ضيات لل صف الأول المتو سط الم ؤولفون د. اأمير عبد المجيد جا سم د. منير عبد الخالق عزيز ح سين صادق كاظم د. طارق شعبان رجب د. أاياد غازي نا صر زينة عبد الأمير ح سين مروة فليح ح سن 1437 ه / 016 م الطبعة الأولى

2 بنيت و صممت ) سل سلة كتب الريا ضيات للمرحلة المتو سطة( على أايدي فريق من المتخ ص صين في وزارة التربية/المديرية العامة للمناهج وبم شاركة متخ ص صين من اأ ستاذة الجامعات في وزارة التعليم العالي والبحث العلمي على وفق المعايير العالمية لتحقق اأهداف بناء المنهج الحديث المتمثلة في جعل الطالب: متعلمين ناجحين مدى الحياة. افرادا واثقين باأنف سهم. مواطنين عراقيين ي شعرون بالفخر. الم شرف العلمي على الطبع د.اأمير عبد المجيد جا سم الخبير اللغوي علي م صطفى اإبراهيم الم شرف الفني على الطبع علي شاهين سعيد م صمم الكتاب علي شاهين سعيد المحتوى: Geometry الف صل )5(: الهند سة الف صل )6(: القيا س-الم ساحات والحجوم Measurement: Area and Volumes الف صل ) 7 (:ا إالح صاء واالحتمال Statistics and probability Chapter Exercises تمرينات الف صول

3 المقدمة ت ع د مادة الرياضيات م ن المواد الدراسية األساسية التي ت ساعد الطالب على اكتساب الكفايات التعليمية الالزمة له لت نمية ق دراته على التفكير و حل المشكالت ويساعده على التعامل مع المواقف الحياتية المختلفة. و من م نط لق االهتمام الذي ت وليه وزارة التربية متمثلة بالمديرية العامة للمناهج لتطوير المناهج بصورة عامة والسيما مناهج الرياضيات لكي تواكب التطورات العلمية والتكنولوجية في مجالت الحياة المختلفة ف ق د وض عت خطة لتأليف سلسلة ك تب الرياضيات للمراحل الدراسية الثالث وأ نجز ت منها كتب المرحلة االبتدائية و ب دأ العمل على استكمال السلسلة بتاليف كتب المرحلة المتوسطة. إن سلسلة كتب الرياضيات العراقية الجديدة ومن ضمن اإلطار العام للمناهج ت عزز القيم االساسية التي تتمثل بااللتزام بالهوية العراقية والتسامح واحترام الرأي والرأي اآلخر والعدالة والتعلم االجتماعية وتوفير فرص متكافئة للتميز واإلبداع كما تعمل على تعزيز كفايات التفكير والكفايات الشخصية واالجتماعية وكفايات المواطنة والعمل. ب ني ت سلسلة كتب الرياضيات العراقية على محورية الطالب في عمليتي الت عليم والت ع ل م و ع ده المحور الرئيس في العملية التربوية على وفق المعايير العالمية. ت ميز ت سلسلة كتب الرياضيات العراقية للمرحلة المتوسطة في تنظيم الدروس على ست فقرات : ت ع ل م ت أكد من ف هم ك ت در ب و ح ل التمرينات ت در ب وح ل مسائل حياتية ف ك ر ا كتب. يأتي كتاب الرياضيات للصف األول المتوسط مشتمال على أربعة محاور أساسية: محور األعداد والعمليات ومحور الجبر ومحور الهندسة والقياس ومحور اإلحصاء واالحتماالت من ض من األوزان النسبية لكل محور و ت ض م ن الكتاب جزأين: الجزء األول وهو مخصص للفصل الدراسي األول ويحتوي على أربعة فصول لكل فصل تمريناته أما الجزء الثاني فهو م خصص للفصل الدراسي الثاني ويحتوي على ثالثة فصول ولكل فصل تمريناته. ت ت ميز هذه الكتب بأنها تعر ض المادة بأساليب حديثة ت ت وفر فيها عناصر الجذب والتشويق التي ت ساعد الطالب على التفاعل معها عن طريق ما ت قد مه من تدريبات وتمرينات ومسائل حياتية اضافة إلى ذلك ت م و ضع تمرينات الفصول في نهاية الكتاب وهي ت خ تلف عن التدريبات والتمرينات في الدروس وذلك لكونها موضوعية فاإلجابة عنها تكون عن طريق اختيار من متعدد وهذا بدوره يهي ئ الطالب للمشاركة في المسابقات الدولية. دعائم يمثل هذا الكتاب امتدادا لسلسلة ك تب الرياضيات المطورة للمرحلة االبتدائية ودعامة من المنهج المطور في الرياضيات إلى جانب دليل المدرس وعليه نأمل أن ي س ه م ت نفيذ ها في اكتساب الطالب المهارات العلمية والعملية و تنمية ميولهم لدراسة الرياضيات. اللهم وفقنا لخدمة عراق نا العزيز وأبنائ ه... المؤلفون

4 الفصل 5 Geometry الهندسة الدرس الدرس الدرس الدرس الدرس الدرس المضلعات المنتظمة والزوايا الداخلية والخارجية والمركزية األشكال المجسمة واألشكال المجسمة المركبة المستوي اإلحداثي االنسحاب واالنعكاس والتناظر التطابق والتشابه خطة حل المسألة )انشيء نموذجا ( الشناشيل : هي نافذة في الجدار مغطاة بإطار مكون من تراكب مجموعة من القطع الصغيرة أ سطوانية الشكل )دائرية المقطع ) على شكل سالسل تفصل بينها مسافات محددة ومنتظمة بشكل هندسي حرفي دقيق. 4

5 اإلختبار القبلي 1 A 3,5 3 ( ), B ( 5,5), C 4,7 A ( 5,5), B ( 6,7), C ( 8,7), D( 9,5) حدد النقاط على شبكة المربعات وتع ر ف إلى الشكل الناتج فيما يأتي: ( ) A ( 1,1), B ( 1,4), C ( 3,1), D( 3,4) ع ر ف بعض األشكال المستوية البسيطة التي تتكون منها األشكال المركبة في كل صورة مما يلي: 4 A ( 1,), B ( 5,4), C ( 5,), D( 5,4) A ( 1,), B ( 1,8), C ( 3,5) ع ي ن النقاط على المستوي اإلحداثي ثم تع ر ف إلى الشكل الناتج في كل مما يلي : A ( 1,1), B ( 1,4), C (,3), D(,5) A( -1,-1), B( -,-3), C( -6,-1), D( -4,-3) A ( 1,-1), B ( 4,-1), C ( 1,-4), D( 4,-4) ( n-3)+5, n=4 x +x+, x=-1 x +3x+7, x=4 x +8 6, x=-3 جد قيمة العبارات الجبرية اآلتية: ارسم على شبكة مربعات المساقط )العلوي االمامي الجانبي( الثالثة لألجسام اآلتية: حدد المجسم المعطاة مساقطه كما هو مبين فيما يلي : المسقط االمامي المسقط الجانبي المسقط من األعلى المسقط االمامي المسقط الجانبي المسقط من األعلى 0 حدد أ نموذجا لرصف سطح باستعمال نمط من مربعات ومثلثات قائمة الزاوية متطابقة الساقين. 5

6 المضلعات المنتظمة والزوايا الداخلية والخارجية والمركزية Regular Polygons and Interior angles, Central angles Exterior angles الدرس [ 5-1] قف STOP ف ك ر ة الدرس وصف المضلعات وتحد يدها وتحد يد الزوايا الداخلية والخارجية والمركزية وقياسها. المفردات الزاوية الداخلية الزاوية الخارجية الزاوية المركزية المضلع المحدب المضلع المقعر قطر المضلع ت ع ل م في الصورة المجاورة اشارات مرورية مختلفة األشكال وفيها مضلعات منتظمة وغير منتظمة. صنف المضلعات المحدبة والمقعرة. ] [ المضلعات المحدبة والمقعرة Convex and Concave Polygons ت ع ل م ت سابقا مفهوم المضلع وتع ر ف ت إلى المضلع المنتظم وغير المنتظم وفي هذا الدرس سنتع ر ف إلى المضلعات المقعرة والمحدبة ومع ر ف ة قياس الزوايا الداخلية والخارجية والمركزية للمضلعات المحدبة. يسمى المضلع مقعرا : إذا احتوى على األقل أحد أقطاره على نقاط تقع خارج المضلع. يسمى المضلع محدبا : إذا احتوى كل أقطاره على نقاط تقع داخل المضلع. قطر المضلع: هو كل قطعة مستقيم تصل بين رأسين غير متجاورين في المضلع واليكون ضلعا فيه. مثال )1( في فقرة ت ع ل م تع ر ف إلى األشكال واحدد ما إذا كانت مضلعات محدبة أم مقعرة. مضلع رباعي محدب الن جميع نقاط أقطاره داخل المضلع مضلع سداسي مقعر الحتواء بعض اقطاره على نقاط تقع خارج المضلع مضلع ث ماني محدب الحتواء كل اقطاره على نقاط تقع داخل المضلع 6

7 الزاوية الداخلية : هي الزاوية المحصورة بين أي ضلع ي ن متجاورين في المضلع. )n-( 180 n مجموع قياسات الزوايا الداخيلة للمضلع حيث عدد األضالع يساوي الزاوية الخارجية : هي الزاوية المحصورة بين أي ضلع في المضلع وامتداد الضلع المجاور له. مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع 360 الزاوية المركزية : هي الزاوية التي رأسها مركز المضلع المنتظم والضلع المقابل لها احد أضالع المضلع المنتظم. o 360 n قياس الزاوية المركزية ] 5-1- [ الزوايا الداخلية والخارجية والمركزية للمضلعات Interior and Exterior and Central angles in Polygons مثال )( جد مجموع قياس الزوايا الداخلية في سداسي منتظم ا كتب القانون مثال )3( في المثال جد قياس الزاوية المركزية للمضلع. ا كتب القانون )n-(180 = عدد األضالع في السداسي المنتظم هو 6 عو ض عن n ب = 6 180)6-( لذا مجموع قياس الزوايا الداخلية في سداسي منتظم 70 عدد األضالع في السداسي المنتظم هو 6 عو ض عن n ب o = n 360 o = 6 لذا قياس الزاوية المركزية في سداسي منتظم هو مثال )4( جد قياس كل زاوية خارجية في ث ماني منتظم. مجموع الزوايا الخارجية لمضلع منتظم هو o هناك 8 زوايا داخلية متطابقة لذا يوجد 8 زوايا خارجية متطابقة = 8 قياس كل زاوية خارجية في الث ماني المنتظم 45 7

8 تأك د من فهمك 1 اكمل الجدول التالي : مجموع قياس الزوايا الداخلية الشكل عدد األضالع مشابه للمثال 4 خماسي أي المضلعات اآلتية هي محدبة وأيها مقعرة االسئلة -7 مشابهة للمثال جد قياس كل زاوية داخلية للمضلعات اآلتية : االسئلة 8-10 مشابهة للمثال تساعي منتظم 9 أضالع 9 رؤوس ث ماني منتظم 8 أضالع 8 رؤوس سباعي منتظم 7 أضالع 7 رؤوس ما المضلع الذي مجموع زواياه الداخلية o o o ما قياس الزاوية المركزية للمضلعات اآلتية عشاري منتظم ث ماني منتظم خماسي منتظم االسئلة مشابهة للمثال

9 تدرب وحل التمرينات أي المضلعات اآلتية هي محدبة وايها مقعرة جد قياس كل زاوية خارجية للمضلعات اآلتية: 1 تدرب وحل مسائل حياتية 4 3 فسيفساء : ت م ث ل صورة الفسيفساء سقوف أحد القصور األثرية اذكر بعض المضلعات الموجودة فيها وحدد إذا كانت مقعرة ام محدبة مالحظة: انظر األشكال الهندسية خاليا نحل : خلية نحل ت م ث ل مضلعا سداسيا منتظما ما قياس الزاوية الخارجية له كيمياء : ما المضلع المكون لجزيئة الهيدروجين مع األوكسجين في الصورة المجاورة وما مجموع قياس الزوايا الداخلية له ف ك ر مسألة مفتوحة : اعط أمثلة لمضلع ي ن )ثالثي, خماسي ) يمث ال ن أشياء في الحياة وجد قياس زواياهم الداخلية والخارجية. تحد : ما المضلع المننتظم الذي زاويته المركزية 90 أ كتب شرحا عن العالقة بين عدد أضالع مضلع منتظم وقياس كل زاوية داخلية فيه. 9

10 األشكال المجسمة واألشكال المجسمة المركبة Polyphonic Forms and Composite Polyphonic Forms الدرس [ 5-] ف ك ر ة الدرس تمييز األشكال المجسمة من األشكال المجسمة المركبة وتحديد عدد األوجه والرؤوس واألحرف لكل شكل مجسم المفردات الوجه ت ع ل م المتحفالعراقيمناكبرالمتاحف في العراق واقدمها تأسس عام 193 يحتوي مجموعات اثرية تؤرخ بالد مابين النهرين. مدخل المتحف العراقي يمث ل أشكال هندسية مجسمة إذ تتكون )البوابة( من متوازي مستطيالت. الحرف الرأس المنشور القاعدة ] 5--1 [ خواص األشكال المجسمة Properties of Polyphonic Formats األشكال المجسمة : هي األشكال التي تشغل حيزا في الفراغ ولها ثالثة ابعاد ومن المفردات التي سنتطرق لها في هذا الدرس الحرف: هي قطعة المستقيم التي تشكلت من تقاطع األوجه الوجه: هو شكل مستوي الرأس: هو نقطة تقاطع االحرف. مثال )1( خواص األشكال المجسمة الشكل الهرم له على األقل ثالثة أوجه مثلثة الشكل له قاعدة واحدة عبارة عن شكل مضلع شكل القاعدة يحدد أسم الهرم الخواص هرم ثالثي هرم رباعي المخروط له قاعدة واحدة فقط القاعدة عبارة عن دائرة له رأس واحد االسطوانة لها قاعدتان دائريتان متطابقتين فقط ليس لها رؤوس او حرف الكرة تبعد جميع النقاط عن الكرة بنفس المسافة عن المركز اليوجد لها أوجه او قواعد او حرف او رؤوس المنشور له على األقل ثالث أوجه كل منها متوازي أضالع يسمى الوجهان العلوي والسفلي قاعدتي المنشور وقاعدتا المنشور مضلعان متطابقان متوازيان يعبر شكل القاعدة عن شكل المنشور منشور رباعي منشور ثالثي 10

11 مثال )( صنف األشكال المجسمة المركبة التي يتكون منها الشكل المجسم المركب وحدد عدد القواعد األوجه االحرف الرؤوس. يتكون الشكل المجسم المركب من: مخروط: قاعدة واحدة رأس واحد التوجد أوجه او احرف. اسطوانة: قاعدة التوجد رؤوس التوجد احرف. مثال )3( صنف األشكال المجسمة المركبة التي يتكون منها الشكل المجسم المركب وحدد عدد األوجه و الرؤوس فقط. يتكون الشكل المجسم المركب من: مكعب: عدد الرؤوس 8 عدد األوجه 6 كرة: عدد الرؤوس 0 عدد األوجه 0 مثال )4( صنف األشكال المجسمة المركبة التي يتكون منها البرج في الصورة المجاورة وحدد عدد األوجه واألحرف لكل مجسم. يتكون البرج من : i( منشور رباعي )متوازي المستطيالت( )ii منشور رباعي )مكعب( عدد األوجه = 6 عدد األحرف= 1 عدد الرؤوس = 8 مالحظة: لمتوازي المستطيالت والمكعب نفس العدد من األوجه والرؤوس واالحرف مكعب متوازي مستطيالت مثال )5( حدد شكل القاعدة لكل شكل مما يلي ثم صنفه : دائرة اسطوانه مثلث هرم مثلث منشور ثالثي 11

12 األشكال تأك د من فهمك مشابه لألمثلة 1, 1 امال الفراغات في الجدول التالي : عدد األوجه عدد االحرف عدد الرؤوس 5 6 حدد شكل القاعدة لألشكال التاليه ثم صنفها : 3 4 صنف األشكال المجسمة المركبة التي يتكون منها الشكل المجسم المركب وحدد عدد القواعد األوجه االحرف الرؤوس فيما يأتي: مشابه لألمثلة 1, تدرب وحل التمرينات صنف األشكال المجسمة و األشكال المجسمة المركبة التي يتكون منها الشكل المجسم المركب وحدد عدد القواعد األوجه االحرف الرؤوس فيما يأتي:

13 تدرب وحل مسائل حياتية 14 تعليم : ما الشكل المجسم الذي يمث ل ه كتاب الرياضيات وما عدد األحرف والوجوه والرؤوس له 15 مدرسة : ابحث حولك في الصف عن أشياء ت م ث ل أشكال مجسمة وصنفها فضاء : مكوك الفضاء هو نظام نقل فضائي متكون من خمسة مركبات فضائية يستطيع ان ينقل رواد الفضاء إلى الفضاء الخارجي ويعيدهم إلى االرض مع حمولة قد تصل إلى 3 طن من االقمار الصناعية والبشر والمعدات حدد شكلين مجسمين في الصورة وصنفهما. آثار : سكنت شعوب حضارة المايا في منطقة وسط امريكا في الفترة 000 سنة قبل الميالد وقد ع ر ف ت بتطور الفن والهندسة المعمارية وانظمة الرياضيات والفلك حدد عدد األوجه و الرؤوس واألحرف للشكلين المجسمين الظاهرين في الصورة آثار : االهرامات هي بنايات ملكية بناها قدماء المصريون وتدرج بنائها من هرم متدرج إلى هرم مائل الشكل ثم إلى شكل الهرم الكامل المعروف في اهرامات الجيزه حدد شكل القاعدة وأسم الشكل المجسم الذي يمثله الهرم في الصورة المجاورة ف ك ر استدالل : أستعمل ماتع ر ف ه من خواص المجسمات للمقارنة بين المنشور الرباعي والهرم الرباعي. ما الشكل المجسم الذي تستعمل فيه كلمة أوجه مثلثة وقاعدة واحدة فقط أستعمل األشكال المجاورة لتحد د كل ممايلي : A 18 1 A B مستويان متوازيان B C E F مستقيمان متقاطعان D C D 3 نقطتان تشكالن قطرا عند الوصل بينهما E F G H أ كتب ا كتب أسم المجسم الذي يحده سطح منحن وليس له رأس وال حرف. 13

14 Coordinate Plane الدرس المستوي اإلحداثي [ 5-3] ف ك ر ة الدرس تمثيل االزواج المرتبة وتمييزها في المستوي اإلحداثي المفردات المستوي اإلحداثي محور السينات محور الصادات نقطة االصل احداثيات النقطة الزوج المرتب ت ع ل م المستوي اإلحداثي يتكون من تقاطع مستقيمين متعامدين في نقطة تسمى نقطة االصل المستقيم االفقي يع ر ف بمحور السينات والمستقيم العمودي عليه يع ر ف بمحور الصادات وكل منهما مقسم إلى أجزاء متساوية في الطول تسمى الوحدة. Y-axis X-axis الربع الرابع ( ) origen point ( +,+ ) الربع االول,+ الربع الثاني ( ) ( +, ), الربع الثالث ] [ تمييز االرباع في المستوي اإلحداثي Recognized Quarter in Coordinate Plane المستوي اإلحداثي يقسم على أربع مناطق تع ر ف باالرباع, الربع االول, الربع الثاني, الربع الثالث, الربع الرابع مثال )1( حدد الربع الذي تنتمي اليه كل نقطة في المستوي اإلحداثي المجاور. )i النقاط A, B, C تقع في الربع االول )ii النقاط D, E, F تقع في الربع الرابع صل بين النقاط في الربع االول والنقاط في الربع الثاني ماذا تالحظ الشكل الناتج مثلث Y-axis B ( 1,1) ( 1,-1) D A (,3) (,-3) F C ( 6,1) ( 6,-1) E X-axis ] 5-3- [ تمثيل النقاط في المستوي اإلحداثي Representation Points in Coordinate Plane ت ميز النقاط في المستوي اإلحداثي بالزوج المرتب )x,y( والمكون من عددين, العدد االولx يمث ل اإلحداثي السيني )وحدات إلى اليمين أوإلى اليسار ( والعدد الثاني) y ( يمث ل اإلحداثي الصادي )وحدات إلى األعلى أوإلى االسفل ). D (-5,-) (-,1) Y-axis C B ( 0,6) C F ( 5,3) A ( 3,0 ) ( 4, 4) ( ) مثل كل زوج مرتب بنقطة في المستوي اإلحداثي المجاور وحدد في أي ربع تقع كل نقطة. i( 5,3 تقع في الربع االول (-,1) )ii ( 0,6) )iii (-5,-))iv ( 3,0) )iiv تقع في الربع الثاني تقع على المحور الصادي تقع في الربع الثالث تقع على المحور السيني (4,4 ( تقع في الربع الرابع )iiiv X-axis مثال )( 14

15 ] [ تحد يد احداثيات النقاط في المستوي اإلحداثي بزوج مرتب Determination of Coordinates Points in Coordinate Plane by Order Pair A C Y-axis B مثال )3( A احداثيات النقطة i( حدد احداثيات كل نقطة في المستوي اإلحداثي المجاور اتجه من نقطة االصل إلى االسفل واحسب 4 وحدات. B احداثيات النقطة )ii اتجه من نقطة االصل إلى اليمين واحسب وحده واتجه من الموقع الجديد واحسب 5 وحدات إلى األعلى. X-axis A( 0,-4) ( ) B,5 C احداثيات النقطة )iii اتجه من نقطة االصل إلى اليسار واحسب 3 وحدات واتجه من الموقع الجديد واحسب 5 وحدات إلى االسفل. ( ) C -3,-5 قسمت الخريطة المجاورة إلى مستوي احداثي حيث يمث ل محور السينات المسافة المقطوعة يمينا او يسارا ويمث ل محور الصادات المسافة المقطوعة إلى اعلى او إلى االسفل في أي 0,4 في أي ربع تقع او على أي محور مدينة تقع النقاط )i,-) ( م )ii ) ( مثال )4( ابدأ من نقطة االصل واتحرك وحدتين إلى اليمين ثم وحدتين إلى االسفل فاجد النقطة ) ( -, حيث محافظة القادسية وهي تقع في الربع الرابع. بدأ من نقطة االصل واتحرك أربع وحدات إلى األعلى فاجد النقطة ( ) 0,4 في محافظة كركوك وتقع على محور الصادات. مالحظة: تحل في الصف حدد على األقل نقطتين في المحافضات االتية )البصرة نينوى, االنبار(. 15

16 تأك د من فهمك مشابه للمثال 1 حدد الربع الذي تنتمي اليه كل نقطة في المستوي اإلحداثي ثم ا كتب الزوج المرتب الذي يقابلها. Y-axis A 1 ارسم المستوي اإلحداثي على ورق رسم بياني ثم مثل كل زوج مرتب بنقطة وسمها وحدد الربع او المحور الذي تقع فيه: 7 11 D B A (-3,-) C 8 ( 0,1) ( 4,3) 1 ( 5,-6) 13 (-,9) 14 ( 8,0) 9 (-,0) تدرب وحل التمرينات 15 حدد الربع الذي تنتمي اليه كل نقطة في المستوي اإلحداثي المبين في الشكل وا كتب الزوج المرتب Y-axis F E X-axis 10 ( 4,-1) B C D E F مشابه للمثال الذي يقابل كل نقطة. A B C E D F X-axis G H 16 في سؤال )15( صل بين النقاط في كل ربع ماذا تالحظ ارسم المستوي اإلحداثي على ورق رسم بياني ثم مثل كل زوج مرتب بنقطة وسمها وحدد الربع او المحور الذي تقع فيه: 17 (-1,-) 18 ( 0,-5) 19 ( 0,4) 0 ( 6,7) 1 (-,5) ( 4,-6) 3 ( 6,0) 4-1,-7 ( ) 5 ( 4,5) 6 ( 7,-1) 7 (-6,-5) 8-7,6 ( ) 16

17 تدرب وحل مسائل حياتية مثل االزواج المرتبة في المستوي اإلحداثي وارسم قطع مستقيمة لتصل بين النقاط في كل ربع اذكر أسم الشكل الذي حصلت عليه واذكر في أي ربع يقع. A (0,), B(0,-), C(,), D(,-) 9 30 E(-6,-3), F(-3,-1), G(4,-1), H(4,-6) جغرافية : أستعمل الخطوط البيانية الموضحة على الخارطة كأحداثيات وحدد بعض النقاط التي تتقاطع فيها كل مما يلي : 31 مصر 3 السودان 33 العراق 34 الجزائر 35 هندسة: ثبت بيانيا أربع نقاط على المستوي اإلحداثي بحيث تشكل رؤوس مستطيل عند وصلها معا ثم حدد االزواج المرتبة المقابلة لها. ف ك ر اذكر اإلحداثي السيني لنقطة على المحور الصادي اذكر اإلحداثي الصادي لنقطة على المحور السيني مسألة مفتوحة: باالمكان تحد يد الربع الذي تقع فيه نقطة ما دون االستعانة بالتمثيل البياني بطريقة جديدة اعط مثاال يوضح ذلك. 39 تحد : وضح لماذا يختلف موقع النقطة (, ( عن النقطة (, (. أ كتب ثالث ازواج مرتبة ت م ث ل نقاط مثلث قائم الزاوية عند تمثيلها على المستوي اإلحداثي. 17

18 االنسحاب واالنعكاس والتناظر Translation and Reflection and Symmetry الدرس [ 5-4] ف ك ر ة الدرس اتع ر ف االنسحاب واالنعكاس والتناظر وارسم ها المفردات االنسحاب االنعكاس التناظر محور التناظر خط االنعكاس ت ع ل م التناظر خاصية يمكن وصف العديد من األشياء بها حيث يمكن وصف التناظر بصورة االنسان حيث يتماثل نصفه االيمن مع نصفة األيسر. ] [ محاور التناظر Axis of Symmetry ان الشكل المتناظر حول محور يمكن طيه فوق مستقيم وينتج عن ذلك نصفان متطابقان ويسمى خط الطي في هذة الحالة محور التناظر. يمكن التعبير عن التناظر حول المحور الصادي للنقطة )x,y( بالنقطة.)-x,y( يمكن التعبير عن التناطر حول المحور السيني للنقطة )x,y( بالنقطة.)x,-y( مثال )1( هل يوجد محور تناظر لالنسان في الصورة في فقرة ت ع ل م باالمكان رسم محور تناظر عمودي يقسم الجسم في الصورة إلى نصفين محور تناظر عمودي متطابقين حيث تتطابق الجهة اليمنى لجسم االنسان مع جهته اليسرى. مثال )( حدد محاور التناظر لألشكال اآلتية وارسم ها ان وجدت محور تناظر عمودي لها عدة محاور تناظر اليوجد محاور تناظر محور تناظر افقي افقية عمودية وقطرية 18

19 ] 5-4- [ االنعكاس Reflection ق االنعكاس هو تحول شكل ما إلى صورة مرآته )المعكوسة ) مثال شكل الحرف ق بالنسبة لخط عمودي )خط االنعكاس ) او ( مرآة( يصبح الشكل. لعكس شكل ما يستعمل خط مرآة ويسمى خط االنعكاس. A B مثال )3( في الصورة المجاورة قارن شكل الطائر في الماء C i( انظر النقاط على شكل الطائر ما ترتيبها النقاط,A B,C مرتبة في اتجاه عقارب الساعة )ii كيف يظهر ترتيبها في الماء A B C اتجاهها عكس عقارب الساعة وهي مرتبة بشكل,C,B A A B Y-axis B A انسخ الشكل ABCD على ورقة الرسم البياني ثم ارسم صورته في االنعكاس حول الخط المبين. مثال )4( D C C D X-axis ABCD اجد االزواج المرتبة التي ت م ث ل كل نقطة من نقاط الشكل i( )ii اجد عدد الوحدات بين كل رأس وخط االنعكاس iii (ع ي ن نقطة لكل رأس على الجهة االخرى من الخط بالبعد نفسة A B C D صل بين الرؤوس الجديدة لتكون صورة انعكاسه )iv خط االنعكاس ] [ االنسحاب Translation هو انتقال الشكل من موقع إلى اخر دون تدويره يمكن التعبير عن االنسحاب بشكل زوج مرتب )x+a,y+b( ويقصد به انسحاب النقطة )x,y( بمقدار a وحدة افقيا و b وحدة عموديا. 19 مثال )5( انسخ المثلث ABC المبين على ورقة الرسم البياني ثم ارسم صورته باالنسحاب 5 وحدات إلى اليسار و 3 وحدات إلى االسفل. Y-axis i( حرك كل راس للمثلث ABC و 5 وحدات إلى اليمين و 3 C وحدات إلى االسفل. -5, 1-3 انسحاب النقطة (,1 )A يمث ل بالزوج المرتب ) ( A لتصبح (-,3-) انسحاب النقطة 6,1) B( يمث ل بالزوج المرتب 3) 5,1 6 ( B لتصبح ) 1, ( انسحاب النقطة 1,6) C( يمث ل بالزوج المرتب 3) 5,7 1 ( C لتصبح 4,4) ( )ii صل بين الرؤوس الجديدة لتكون صورة للمثلث بعد االنسحاب A B C C A A B B X-axis

20 تأك د من فهمك انظر إلى األشكال في الصور اآلتية واذكر محاور التناظر لها ان وجدت 1 االسئلة 1-3 مشابهة للمثال 3 4 ارسم الشكل ABCD الذي احداثياته رؤوسه (1,)D (1,1)A,(4,)B,,(4,1)C على ورق رسم بياني وحدد المستوى اإلحداثي ثم ارسم صورته باالنعكاس حول محور السينات وا كتب احداثيات رؤوسه. السؤال 4 مشابه للمثال 4 5 ا جري انسحاب للنقطة B نحو االسفل مقداره وحده و 6 وحدات نحو اليمين ما احداثيات النقطة B. B إذا كانت النقطة (,1 ( السؤال 5 مشابه للمثال 5 تدرب وحل التمرينات أستعمل األشكال المبينة ادناه وحدد ما إذا كان للحرف محور تناظر إذا كان كذلك فارسم جميع محاور التناظر ان وجد A( 3,4), B( 1,), C 4,1 على ورق رسم بياني ثم ارسم المثلث ABC الذي احداثيات رؤوسه ) ( ارسم صورته وا كتب احداثيات رؤوسه بعد اجراء التحويالت االتيه عليه : 9 االنعكاس حول محور الصادات Y-axis A االنسحاب وحدة إلى اليسار و 4 وحدات إلى االسفل. االنسحاب 3 وحدات إلى اليمين و وحدة إلى األعلى D C B X-axis إذا اجري انسحاب للمع ي ن ABCD مقداره 4 وحدات إلى اليمين و 1 وحدة إلى األعلى فما احداثيات النقطة C 1 0

21 تدرب وحل مسائل حياتية انسخ الشكلين االتيين على ورق بياني ثم ارسم صورة انعكاسهما حول الخط المبين صف نوع التحويل في األشكال اآلتية ان وجد : اعمال يدوية: في الصورة المجاورة بي ن االنعكاسات لألشكال الهندسية وبين االجزاء التي التدل على انسحاب. 19 هندسة: دائرة نصف قطرها 5 وحدات ومركزها النقطة )3,3( إذا اجري انسحاب مقداره وحدة إلى األعلى و 3 وحدات إلى اليسار فما اإلحداثيات الجديدة للمركز 0 ف ك ر حس هندسي : ارسم الشكل الث ماني على ورق بياني ثم ارسم صورة االنعكاس له حول محور الصادات وا كتب احداثيات رؤوسه بعد االنعكاس. علما ان اإلحداثيات هي 4,3) 4,4),H( A(,),B( 3,),C( 1,3),D( 1,4),E(,5),F( 3,5),G( A في االنعكاس, حدد أي محور تم تحد : افرض ان النقطة (3,5- )A هي صورة النقطة (3,5 ( االنعكاس حوله دون استعمال الرسم, برر االجابة. 1 أ كتب مسألة حياتية تستعمل فيها انسحاب لشكل مع ي ن. 1

22 Congruence and Similarity الدرس التطابق والتشابه [ 5-5] ف ك ر ة الدرس احدد األشكال المتطابقة واميز األشكال المتشابه واجد قياس الزاوية و الطول المجهول في زوج من األشكال المتطابقة المفردات التطابق التشابه الزوايا المتناظرة األضالع المتناظرة ت ع ل م انظر الرسمين المجاورين أي المربعات التي في الوسط تبدو اكبر من الثانية وهل تتطابق المربعات الزرقاء جميعها مع المربعات الحمراء ] [ التطابق Congruence التطابق : هو تساوي أضالع وزوايا مضلع مع نظيره من المضلع االخر رمز التطابق. مثال )1( في فقرة ت ع ل م اعاله يتطابق المربعان الوسطيين باللون االزرق مع المربع باللون االحمر. للتحقق من ذلك يكفي وضع المربع الوسطي االول فوق المربع الوسطي الثاني ومالحظة التطابق التام. اما المربعات االخرى في الرسمين اعاله فانها تتشابه مع بعضها. مثال )( ميز األشكال المتطابقة في كل صورة : في الصورة اعاله جميع األشكال متطابقة جميع اللعب في الصورة اعاله متشابه لكنها غير متطابقة مجموعة من الكراة غير متطابقة كل كرة لها شكل وحجم يختلف عن االخرى

23 ] 5-5- [ تطابق المضلعات Congruence Polygons - تتطابق المثلثات إذا كان كل ضلع في المثلث االول مطابق ضلعا مناظر له في المثلث الثاني - األشكال التي لها اكثر من ثالث أضالع يجب تطابق األضالع وقياسات الزوايا أيضا. - إذا تطابق مضلعان نستطيع قياس زاوية مجهولة او طول ضلع مجهول في أي منهما. مثال )3( هل المثلثان متطابقان A D B 5cm 3cm 4cm C AB =DE = 5cm F 3cm 4cm 5cm E AC=DF=3cm BC=EF=4cm ABC DEF يتطابق كل ضلع من المثلث االول مع كل ضلع من المثلث الثاني لذا فان المثلثين متطابقين مثال )4( جد قياس الزاوية المجهولة في الشكل بما ان الشكلين متطابقين فأن قياس زواياهما متطابقة أيضا لذا فان قياس الزاوية المجهولة في الشكل اعالة يساوي 66 O 66! 114! 114! 66! 114! 66! 114! ] [ التشابه Similarity التشابه : يقال لألشكال التي لها الشكل نفسه وتتناسب في اطوال أضالعها المتناظرة بانها متشابه, رمز التشابه ~. وتسمى األضالع في األشكال المتشابهة أضالعا متناظرة. وتسمى الزوايا في األشكال المتشابهة زوايا متناظرة. J K 1cm AD EL = DC LI AD KG = DC GH 8cm H G F E 6 8 = = = 1 ABCD KJHG لتشابه المربعات يجب ان تكون األضالع المتناظرة متناسبة أي ان : أي األشكال الرباعية اآلتية تشابه المستطيل.ABCD 8cm 6cm I L 3 B A C 4cm 6cm D مثال )5( الشكل الرباعي االزرق اليشابة الشكل الرباعي االصفر لعدم تناسب اطوال أضالعهما الشكل الرباعي االزرق يشابة الشكل الرباعي االحمر لتناسب اطوال أضالعهما

24 تأك د من فهمك االسئلة 1-3 مشابهة للمثال ميز األشكال المتطابقة في كل مما يلي : 1 3 جد قياسات الزوايا واطوال األضالع المجهولة في األشكال المتطابقة اآلتية: االسئلة 4-5 مشابهة للمثال o 4 80! 110! 110! 110! 110! ! 80! o 110 o 90 o 90 o o 10 o تدرب وحل التمرينات ميز األشكال المتطابقة في كل مما يلي : 8 جد قياسات الزوايا واطوال األضالع المجهولة في األشكال المتطابقة اآلتية 60 o 60 o 60 o 60 o 60 o o 90 o o o ! ! o 90 o 90 o 90 o 90 o 90 o 45! 6 90 o 4 4

25 تدرب وحل مسائل حياتية ميز األشكال المتطابقة في كل مما يلي : حدد ما إذا كانت المضلعات المبينة ادناه متطابقة m هندسة : في الشكل المجاور بناية ارتفاعها 18m تصنع ظال طوله, 1m ما ارتفاع شجرة قريبة تصنع ظال طوله 3m 17 1m 3m A ف ك ر 18 تحد : إذا كان المثلث ABC DEF فما طول AB 1 D 3 4 B 6 C E F B A استدالل : لعمل جسر عبور فوق نهر صغير أستعمل المهندس الرسم في الصور ة المجاورة لقياس طول الجسر الواجب بنائه علما ان المثلثين ABC CDE ما طول الجسر الذي اوجده المهندس 3m C 16m D 15m 19 E أ كتب متى يكون المضلعان المتشابهان متطابقان 5

26 خطة حل المسألة )انشيء نموذجا ) Problem Solving Plan (Constrouct Sample) الدرس [ 5-6] ف ك ر ة الدرس احل مسألة باستعمال خطة )انشاء نموذج ) ت ع ل م حاولت زينة ترتيب 3 مكعبات ملونة بطرق مختلفة, ما هي الطرق الممكنة لترتيب المكعبات الثالثة الملونة بشكل مختلف ومتجاور جنبا إلى جنب افهم ما المعطيات من المسألة 3 مكعبات يجب ترتيبها جنبا إلى جنب. ما المطلوب في المسألة عدد الطرق الممكنة لعمل ذلك. خطط كيف أحل المسأله : انشيء نموذجا لتوضيح تلك الطرق المختلفة لترتيب المكعبات. حل تحقق تحقق من الرسم اعاله يتضمن جميع الطرق الممكنة لترتيب المكعبات نالحظ ان االنعكاس واالنسحاب ينتج عنها طريق جديدة للترتيب. 6

27 Problems م سائل 1 انماط : كم مربعا في الشكل رقم 8 وفق النمط االتي : شكل )4( شكل )3( شكل )( شكل )1( كرة سلة : 7 اصدقاء اجتمعوا لتكوين فريق كرة سلة كم فريقا يمكن تكوينه من 5 العبين الوان: تحتاج اسما إلى علبتي تلوين لترسم 5 لوحات رسم ما اقل عدد ممكن من اللوحات التي ترسمها ب 10 علب تلوين 3 ادوات مطبخ: لدى ألين 6 اقداح ملونة ارادت تقديم عصائر في خمس اقداح ملونة مختلفة ماعدد المرات التي تستطيع فيها تقديم العصائر في خمس اقداح مختلفة اللون في كل مره 4 7

28 المفردات عربي English عربي English المضلعات المنتظمة Regular Polygons الزوج المرتب Order Pair الزوايا الداخلية Interior Angles االنسحاب Translation الزوايا الخارجية Exterior Angles االنعكاس Reflection الزوايا المركزية Central Angles التناظر Symmetry المضلع المقعر Concave Polygon محور التناظر Axis of Symmetry المضلع المحدب Convex polygon محور االنعكاس Line of Reflection المستوي اإلحداثي Coordinate Plane التطابق Congruence محور السينات X-axis التشابه Similarity محور الصادات Y-axis الزوايا المتناظرة Corresponding Angles نقطة االصل Origin األضالع المتناظرة Corresponding Lines احداثيات النقطة Coordinates of Point رأس Vertice األشكال المجسمة Composite forms منشور Prism األشكال المجسمة المركبة Base Chapter Review Polyphonic forms قاعدة مراجعة الف صل وجه Face مركز Center الدرس ]5-1[ المضلعات المنتظمة والزوايا الداخلية والخارجية والمركزية مثال 1 : جد قياس الزاوية الخارجية لمضلع منتظم ثالثي اعوض عن n بعدد األضالع وهي 3 أضالع! لذاقياسالزاويةالخارجيةلمضلعمنتظمثالثيهو 10 مثال : ما المضلع الذي مجموع زواياه الداخلية 540! مجموع الزوايا الداخلية لمضلع هي =(-n )180!! 180( n-)=540 n-=3 لذا فان المضلع هو خماسي 5=+3=n تدريب 1 : جد قياس الزاوية الخارجية لمضلع )1 ضلع( تدريب : ما المضلع الذي قياس زواياه الداخلية 900 تدريب 3 : أي المضلعات اآلتية محدبة وأيها مقعرة i) ii) iii)! = 10!! 8

29 الدرس ]5-[ األشكال المجسمة واألشكال المجسمة المركبة مثال: ارسم كل مما يلي واذكر عدد األوجه لكل شكل i( هرم سداسي )ii منشور سباعي i) عدد أوجه الهرم السداسي 7 تدريب 1 : جد عدد األوجه واألحرف لكل مما يلي i( هرم ثالثي )ii منشور ث ماني تدريب : حدد شكل القاعدة لكل مما يلي i( مكعب )ii مخروط تدريب 3 : حدد شكل القاعدة وأسم كل شكل من األشكال المجسمة اآلتية ii) عدد أوجه المنشور السباعي 9 الدرس ]5-3[ المستوي اإلحداثي C مثال 1 : حدد الربع الذي تنتمي اليه كل نقطة وصل بين النقاط في كل ربع وذكر الشكل الناتج. النقاط A,B,C,D تقع في الربع االول والنقاط F,E,H,O تقع في الربع الثاني الشكل هو مستطيل. تدريب 1 : مثل كل نقطة في المستوي اإلحداثي وصل بينها واذكر أسم الشكل الناتج وبأي ربع يقع. A(4,5),B(,5),C(3,7),D(,0),E(4,0) تدريب : حدد احداثيات كل نقطة من النقاط في المستوي اإلحداثي المبينة في الشكل المجاور : Y-axis E F Y-axis A B A B X-axis H O D C X-axis 9

30 االنسحاب واالنعكاس والتناظر الدرس ]5-4[ مثال 1 : ارسم صورة الشكل المبين في ورقة الرسم البياني باالنسحاب 8 وحدات إلى اليسار مثال : أستعمل األشكال المبينة ادناه وحدد ما إذا كان للشكل محور تناظر إذا كان كذلك فأرسم جميع محاوره. تدريب 1 : انسخ الشكل المجاور على ورقة الرسم البياني ثم ارسم صورته باالنسحاب 6 وحدات إلى اليسار و 4 وحدات إلى االسفل تدريب : أستعمل األشكال المبينة ادناه وحدد ما إذا كان للشكل محور تناظر إذا كان كذلك فأرسم جميع محاوره ج M Y-axis X-axis الشكل بعد اجراء االنسحاب لها عدة محاورتناظر ليس له محاور تناظر محور تناظر عمودي التطابق والتشابه الدرس ]5-5[ مثال 1 : ميز األشكال الرباعة المتطابقة في الشكل : تدريب 1 : ميز األشكال المتطابقة في الشكل : مثال : جد قياس الزاوية المجهولة في الشكل المجاور : تدريب : جد قياس الزاوية المجهولة في الشكل المجاور : 55! 90! 80! 35! 65 O 90! 35! 55! 35! 80! 65 O 30

31 Chapter Test اختبار الف صل 1 ما المضلع الذي مجموع قياس زواياه الداخلية 1980 وما قياس الزاوية الخارجية له ما المضلع الذي مجموع زواياه الداخلية 1800 وما قياس الزاوية الخارجية له أي المضلعات اآلتية محدبة وأيها مقعر Y-axis 6 حدد الربع الذي تنتمي اليه كل نقطة في المستوي اإلحداثي. 7 مثل كل نقطة في السؤال رقم 6 بزوج مرتب. X-axis حدد عدد االوجه واالحرف والرؤوس لالشكال المجسمة التالية 8 هرم سداسي 9 منشور سباعي 10 انسخ الشكل المجاور على ورقة رسم بياني ثم ارسم صورته في االنعكاس وصورته في االنسحاب 5 وحدات إلى األعلى. ارسم محاور التناظر لالشكال التالية وسمها ان وجدت m 6m 14 جد قياس الضلع المجهول في الشكل التالي: 4m 15 ارسم مضلعا سداسيا منتظما على ورق بياني وحدد نقاطه وقسمه الى مثلثات متطابقة ما عدد المثلثات التي حصلت عليها ارسم المضلع السداسي بعد اجراء انسحاب وحدتين نحو االسفل لكل نقطة من نقاطه. 31

32 الف صل 6 القيا س-الم ساحات والحجوم Measurement: Area and Volumes ]6-1[ ]6-[ ]6-3[ ]6-4[ ]6-5[ ]6-6[ ]6-7[ الدر س الدر س الدر س الدر س الدر س الدر س الدر س تأثير المعدل )المقياس( على المحيط والمساحة )تكبير وتصغير(. حجوم األشكال المجسمة )المكعب متوازي السطوح(. المساحة الجانبية والمساحة الكلية لألشكال المجسمة )المكعب متوازي السطوح(. تأثير المعدل )المقياس( على الحجم والمساحة الكلية. المساحة السطحية والحجوم لالشكال المجسمة المركبة. مساحة الرصف. خطة حل المسألة )البحث عن نمط(. ترتفع زقورة )أور( أقدم معبد في العراق في مدينة الناصرية المشيدة من ثالث طبقات عن األبنية المحيطة بها وتبلغ أبعاد قاعدة المصطبة األولى 34m 5.6m وبارتفاع 11 مترا فوق مستوى الباحة ويبلغ ارتفاع الطبقة الثانية 6 أمتار أما الطبقة الثالثة والمعبد المشيد فوقها فقد اندثرت تماما ولم يبق من معالمهما سوى ثالثة أمتار. حجم المصطبة األولى = 3 11m 34m 6.5m = 659.5m 3

33 الإختبار القبلي Pretest احسب مساحة متوازي األضالع األضالع طول قاعدته 0 cm وارتفاعه 5. cm احسب مساحة شبه منحرف طول قاعدتيه 8 m 6 m وارتفاعه 5. m احسب محيط دائرة نصف قطرها 14. cm احسب مساحة دائرة نصف قطرها 10. cm دائرة مساحتها 616 cm احسب محيطها. دائرة محيطها 13 cm احسب مساحتها. جد مساحة كل من األشكال اآلتية: 8 cm cm 6cm 5 cm 10 cm 5 cm 16 cm 5 m حديقة دائرية الشكل طول نصف قطرها 5 m يحيطها ممشى مبلط حولها بعرض 5 m احسب كال من مساحة الممشى ومحيطه الخارجي. 8 5m 33

34 تأثير المعدل )المقياس( على المحيط والمساحة )تكبير وتصغير( Rate effect (scale) on the perimeter and area (zoom in and zoom out) الدر س ]6-1[ فكرة الدرس تأثير تكبيروتصغيراألشكال الهندسية على محيطها ومساحتها. المفردات التمدد/ مركز التمدد معامل التمدد التكبير - التصغير ت ع ل م يبين الشكل المجاور ورقة مربعات طول ضلع المربع فيها. cm أعد رسم الشكل الخماسي غير المنتظم باستعمال ورق مربعات طول ضلع المربع فيه 4 سم. استعمل النقطة A كنقطة بداية. جد طول كل ضلع من أضالع الشكل في كال الحالتين وقارن بينهما ثم استنتج العالقة بين القياسين. اآلن خمن طول ضلع المربع في ورقة المربعات الالزم استعمالها لعمل نسخة ثانية من الشكل لتكون ابعادها نصف األبعاد المناظرة لها في الشكل االصلي. ]6-1-1[ مفهوم التمدد ومركز التمدد The Concept of Extensibility and Center Expansion التمدد: هو الصورة الناتجة عن تكبير أو تصغير شكل معطى وهي صورة تماثل األصلية أواألبعاد فيها متناظرة معها. مركز التمدد: هي أحدى نقاط الشكل األصلي نثبتها عند القياس بهدف تعديل قياسات الشكل. معامل التمدد: هو النسبة بين أبعاد الصورة إلى أبعاد الشكل األصلي. c c مثال )1( رسم التمدد ارسم دائرة على ورق المربعات مركزها النقطة C وطول نصف قطرها 3 من المربعات المثبتة على الورقة باستعمال الفرجال. مطلوب رسم صورة لهذه الدائرة على ورقة مربعات أخرى لها نفس 1 قياس المربعات باستعمال تمدد مركزه النقطة C ومعامله 3 الخطوة األولى: نختار نقطة في وسط ورقة المربعات الجديدة ونظهرها على شكل نقطة ونضع تسميتها 'C مركزا للتمدد. الخطوة الثانية: نركز رمح الفرجال على أحد رؤوس مربعات الورقة ونحرك الذراع الثانية للفرجال بمقدار مربع واحد. الخطوة الثالثة: نركز رأس الفرجال في النقطة 'C ونحرك الذراع الثانية لنرسم الدائرة الجديدة. الخطوة األخيرة: باستعمال الفرجال احسب طول نصف قطر الدائرة الجديدة ستجد أنه مربع واحد نستنتج أن نصف قطر الدائرة قد تعرض 1 لتمدد معامله 3 34

35 ليكن ABCD مستطيال رؤوسه A(1,1),B(4,1),C(4,3),D(1,3) ارسمه ثم ارسم تمددا له مركزه نقطة األصل ومعامله. مثال )( من الواضح أن أبعاد المستطيل هي 3 من الوحدات المربعة نرسم المستطيل A'B'C'D' الذي بعداه 4 6 من الوحدات المربعة A' B' 6 C' D' 6 = =, = = AB 3 CD 3 A' D' 4 B' C' 4 = =, = = AD BC A (1, 1) A' (, ) B (4, 1) B' (8, ) C (4, 3) B' (8, 6) D (1, 3) D' (, 6) نالحظ أن: ش حيث بذلك يكون المستطيل A'B'C'D' هو تكبير للمستطيل A B C D وأن معامل التكبير هو شاشة تلفزيوني: تمتاز شاشة العرض التلفزيوني بإمكانية تغيير أبعاد الصورة الظاهرة عليها فإذا كانت أبعاد الصورة األصلية الظاهرة على الشاشة 5. cm 100 cm كم سيكون محيط ومساحة الصورة إذا قمنا بتصغير العرض بمعامل تمدد مقداره 3 4 مثال )3( P = (L+h) = (100+5) = 304 cm A = L.h = = 500cm وعند تطبيق )التصغير( بنسبة 3 4 تصبح أبعاد الصورة كاآلتي: L = = 75cm h = = 39 cm P' = ( ) = 8 cm A' = L.h = = 95 cm P A = =, =, = = P' 8 4 A' وبذلك يكون: الحظ أن: 35

36 ]6-1-[ التكبير والتصغير Enlergement and Reduction إذا تفحصنا األمثلة و 3 يمكننا التوصل إلى: التمدد الذي معامله أكبر من 1 يؤدي إلى التكبير إذ تكبر أبعاد الشكل بمقدار معامل التمدد. التمدد الذي تنحصر قيمته بين الصفر والواحد يؤدي إلى التصغير إذ تصغر أبعاد الشكل بمقدار معامل التمدد. معامل تمدد المحيط )تكبير أو تصغير( هو نفس معامل تمدد أبعاد الشكل. معامل تمدد المساحة )تكبير أو تصغير( هو مربع معامل تمدد أبعاد الشكل. تأك د من فهم ك االسئلة - 1 مشابهة لألمثلة 1 م ث ل بيانيا على ورق المربعات المثلث القائم الزاوية الذي رؤوسه A(,1),B(,4),C(5,1) وجد مساحته ثم م ث ل بيانيا المثلث الناتج عن تمدد التكبير الذي معامله 3. مث ل بيانيا على ورق المربعات دائرة مركزها نقطة األصل وطول نصف قطرها 3 cm واستخرج محيطها ومساحتها. ثم ارسم صورة لها تحت تأثير: )i( تمدد تكبير معامله )( )ii( تمدد تصغير معامله 1 واستخرج 3 محيطها ومساحتها. 1 3 تدرب وحل التمرينات ارسم على ورق المربعات األشكال المبينة أدناه ثم ارسم صور تمددها باستعمال المعلومات الواردة أسفل كل شكل. مركز التمددA مركز التمدد B مركز التمدد C 1 معامل التمدد 5 معامل التمدد معامل التمدد 4 جد االحداثيات الناتجة عن تمدد الشكل الرباعي ABCD في كل من الحاالت التالية باستعمال معامل التمدد المؤشرة إزاء كل حالة إذا كان مركز التمدد هو نقطة األصل. -1), (- D A (0, 3), B (, 1), C (0, -), ومعامل التمدد = 4 0) (-, D A (-3, ), B (3, 3), C (5, -), ومعامل التمدد = 3 إذا علمت أن أحد المضلعين في الشكل المجاور هو تمدد للمضلع اآلخر. استخرج معامل التمدد وبي ن فيما إذا كان تكبيرا أم تصغيرا. 4 (i (ii 5 36

37 تدرب وحل مسائل حياتية m نصب تذكاري : ص م م عبد اهلل مخططا لجزء من نصب الحرية بأبعاد 50 cm 15 cm فإذا رغب بتصغير المخطط باستخدام معامل تمدد مقداره. 1 احسب محيط المخطط المصغر 5 ومساحته. تصميم : أحمد مهندس بناء تعود أن ينجز مخططات بناء الدور السكنية في دفتر مالحظاته اليومية وعند اكتمال التصميم يقوم بتكبيره بمعامل تمدد مقداره )10( على ورق الخرايط. فإذا كانت ابعاد غرفة النوم في الخريطة على صفحة دفتر مالحظاته هي. 4.8 cm 3.5 cm فما مساحتها وما محيطها على ورق الخرايط عدسة تكبير: تستعمل العدسة المحدبة كعدسة مكبرة إذا وضع الجسم بين العدسة وبؤرتها. فاذا نظرت إلى الحرف m المكتوب على الورقة والذي ارتفاعه 3 mm عبر عدسة مكبرة مدى تكبيرها هو 5 3 فكم سيكون االرتفاع بعد التكبير فك ر تحد : شكل هندسي غير منتظم صف صورته تحت تأثير تمدد بعامل مقياسه )3-(. مسألة مفتوحة: م ث ل بيانيا شكل مربع ثم م ث ل صورة له تحت تأثير تمدد بمعامل أكبر من 1 ثم م ث ل الصورة الناتجة تحت تأثير تمدد بمعامل أقل من 1. توقع قيمة معامل التمدد بين الشكل األصلي والشكل األخير. وضح السبب ثم تحقق من صحة إجابتك. حس عددي : ماذا تتوقع أن تكون صورة شكل ما تحت تأثير تمدد في بالحاالت االتية: i) معامل التمدد يساوي (ii 1 معامل التمدد يساوي صفر اكتب صيغة رياضية عامة إليجاد اإلحداثيات الجديدة للزوج المرتب )y x(, تحت تأثير تمدد بمعامل مقياسه. k 37

38 الدر س حجوم األشكال المجسمة )المكعب متوازي السطوح المستطيلة( Volumes of three-dimensional geometric shapes (Cube/Parallelepipeded) ]6-[ فكرة الدرس التعرف إلى كيفية استخراج حجم المكعب ومتوازي السطوح المستطيلة المفردات المجسم - الموشور- الحرف الرأس الوجه - الطول- العرض - االرتفاع ت ع ل م يتميز الشكل المجسم مثل المنضدة المجاورة والمكعب السحري بأنه يمتلك أبعادا ثالثة خالفا للشكل المستوي الذي يمتلك بعدين اثنين فقط. األبعاد الثالثة هي: الطول العرض االرتفاع. وبلغة علم الهندسة فإن كل جسم كثير السطوح له قاعدتان على شكل مضلعين متوازيين منتظمين ومتطابقين يسمى )الموشور المنتظم(. يصنف الموشور بحسب شكل قاعدته فيكون موشورا رباعيا إذا كانت قاعدته شكال رباعيا كما في المكعب ومتوازي السطوح المستطيلة. :]6--1[ المكعب Cube المكعب: الجسم الذي تكون وجوهه الستة على شكل مربع. كما يمكن أن نقول إنه موشور رباعي قائم ارتفاعه يساوي طول ضلع قاعدته. أي إن األبعاد الثالثة للمكعب متساوية األطوال. وللتفصيل: يتكون المكعب من ستة أوجه مربعة الشكل وثمانية رؤوس أو زوايا قائمة وأثني عشر حرفا. حجم المكعب: حجم المكعب = طول الحرف طول الحرف طول الحرف V=L L L حيث V تمثل حجم المكعب وL تمثل طول حرف المكعب 38

39 6 cm مثال )1( جد حجم مكعب طول حرفه 6 cm استعمل قانون حجم المكعب بالرموز V = L L L عو ض وبس ط V = = 16 لذا يكون حجم المكعب = 3 16 cm يتكون المكعب السحري من 7 مكعبا صغيرا مختلفة األلوان طول حرف المكعب الصغير 1.9 cm ويمكننا حساب حجم المكعب السحري بطريقتين: مثال )( الطريقة األولى: نالحظ أن طول حرف المكعب السحري = 5.7 cm وبذلك يكون حجم المكعب السحري = cm 3 الطريقة الثانية: حجم المكعب الصغير وبذلك يكون حجم المكعب السحري = cm = cm 3 خزان الماء: خزان ماء على شكل مكعب طول حرفه 3 m يصب فيه الماء بمعدل 39 m في الساعة. احسب الوقت الالزم ليمتلئ بالماء. مثال )3( إن سعة الخزان في الحقيقة مقدار ما يستوعبه من الماء في داخلة وهو بالضبط حجم الخزان الذي يتخذ شكل المكعب. V = L L L V = V = 7 أي ان سعة الخزان تساوي: 7 m 3 إن الماء يصب داخل الخزان بمعدل 9m 3 في الساعة لذلك فإن الوقت الالزم المتالء الخزان يستخرج بقسمة سعة الخزان على معدل تدفق الماء فيه أي: ساعات =

40 ]6--[: متوازي السطوح Parallelepipeded متوازي السطوح: هو جسم كل من قاعدتيه مستطيل وجميع وجوهه الجانبية مستطيالت ويكون كل وجهين فيه متقابلين فيه ومتطابقين ويقاس حجمه كاآلتي: الحجم = مساحة القاعدة االرتفاع V = L w h إذ يمثل L طول القاعدة وw عرض القاعدة وh االرتفاع الطول Lالعرض w االرتفاع h 4 cm مثال )4( جد حجم متوازي السطوح المستطيلة الذي أبعاده 3 cm, 4 cm, 8 cm استعمل قانون حجم متوازي السطوح بالرموز V = L w h 3 cm عو ض وبس ط V = = 96 8 cm لذا يكون حجم متوازي السطوح المستطيلة = 3 96 cm مثال )5( متوازي سطوح قاعدته مربعة طول ضلعها 8 cm وارتفاعه 10 cm جد حجمه. 10 cm ا كتب قانون الحجم V = L w h ع و ض وأبس ط = V V = 640 لذا يكون حجم متوازي السطوح المستطيلة = cm 8 cm أسماك الزينة: الحوض على شكل متوازي سطوح أبعاده 1 m, 0.5 m, 1.5 m ما حجم الماء الالزم لكي يمتلئ تماما مثال )6( V = L w h V = V = 0.75 لذا فإن حجم الماء الالزم لكي يمتلئ تماما يساوي 0.75 cm 3 40

41 ت أك د من فهم ك متوازي سطوح مستطيلة طول قاعدته 4 cm وعرضه 8 cm وارتفاعه 8 cm فما حجمه مكعب طول حرفه 4.5 cm ماحجمه متوازي سطوح مستطيلة ارتفاعه ثالثة أمثال طول قاعدته فإذا كان طول القاعدة 4 cm وعرضه 8 cm فما حجمه يمكن حل األسئلة بنفس أسلوب حل المثالين 1 و تدرب وحل التمرينات مكعب حجمه 1000 cm 3 فما طول حرفه متوازي سطوح مستطيلة حجمه 48 cm 3 فإذا كانت مساحة قاعدته 1 cm فما ارتفاعه متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة وارتفاعه 10 cm فإذا كان حجمه 90 cm 3 فما طول ضلع قاعدته المربعة تدرب وحل مسائل حياتية 5 cm 6 cm 8 cm خزان ماء على شكل مكعب طول حرفه 3 cm فيه كمية من الماء يبلغ ارتفاعها 1.5 m احسب كمية الماء التي يلزم إضافتها إليه ليمتلئ تماما. احسب حجم الجزء المظلل األسفل من مسكن الطيور بالشكل. 7 8 ف ك ر تحد : قررت شركة حلويات تغيير شكل العلبة من متوازي سطوح أبعادها 4 cm cm 8 cm إلى علبة مكعبة بحيث تبقى سعتها ثابتة جد طول حرف العلبة المكعبة. مسألة مفتوحة: رصفت 3 مكعبات بشكل متجاور طول حرف كل منها 5. cm فما هو الشكل المتكون وما حجمه حس عددي : أيهما له تأثير أكبر على حجم متوازي السطوح المستطيلة: i) مضاعفة مساحة قاعدته )ii مضاعفة االرتفاع ب ر ر إجابتك بمثال عددي ا كتب صيغة رياضية عامة لحجم متوازي سطوح طوله k cm وعرضه نصف طوله وارتفاعه ثالثة أمثال طوله. 41

42 المساحة الجانبية والمساحة الكلية لألشكال المجسمة )المكعب متوازي السطوح المستطيلة( Side surface area & total surface area of three-dimensional geometric shapes (Cube/Parallelepiped) الدر س ]6-3[ فكرة الدرس التعرف إلى كيفية استخراج المساحة الجانبية والمساحة الكلية للمكعب ومتوازي السطوح المستطيلة المفردات طول حرف المكعب- الطول- العرض - االرتفاع :]6-3-1[ المكعب CUBE ت ع ل م المساحة الجانبية للمكعب هي مساحة 4 مربعات بينما المساحة الكلية هي مساحة 6 مربعات. أما المساحة الجانبية لمتوازي السطوح المستطيلة فهي مساحة أربعة مستطيالت كل اثنين متقابلين منهما لهما نفس المساحة.والمساحةالكليةلمتوازيالسطوحالمستطيلة هي مساحة ستة مستطيالت كل اثنين متقابلين منهما لهما نفس المساحة وهي مجموع المساحة الجانبية مع مساحة القاعدتين العليا والسفلى. المساحة الجانبية: هي مساحة الوجوه األربعة المربعة التي تقع على جانبي الشكل المجسم أي إنها مساحة أربعة مربعات لذلك تكون: المساحة الجانبية = 4 طول الحرف طول الحرف. S A = 4 L L إذ S A تمثل المساحة الجانبية و L يمثل طول حرف المكعب. المساحة الكلية: هي مساحة الوجوه الستة المربعة التي تقع على سطح الشكل المجسم أي انها مساحة ستة مربعات لذلك تكون: المساحة الجانبية = 6 طول الحرف طول الحرف T A=6 L L إذ T A تمثل المساحة الكلية وL يمثل طول حرف المكعب مربع مربع مربع L L مثال )1( جد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لمكعب طول حرفه 1cm استعمل قانون المساحة الجانبية للمكعب بالرموز S A = 4 L L S A = = 576 ع و ض وبس ط L لذا تكون المساحة الجانبية للمكعب = 576 cm استعمل قانون المساحة الكلية للمكعب بالرموز T A = 6 L L T A = = 864 ع و ض وبس ط لذا تكون المساحة الكلية للمكعب = 864 cm 4

43 مثال )( مكعب مساحته الجانبية تساوي 16 cm جد 1( طول حرفه ( حجمه ا كتب قانون المساحة السطحية للمكعب S A = 4 L L ع و ض L L 4 = 16 خاصية عالقة الضرب بالقسمة ب س ط الجذر التربيعي للعدد L L = 16 4 L L = 4 L = لذا فإن طول حرف المكعب يساوي cm اكتب قانون حجم المكعب V = L L L ع و ض ب س ط V = V = 8 لذا فإن حجم المكعب 8 cm 3 ]6-3-[ متوازي السطوح Parallelepipeded المساحة الجانبية: هي مجموع مساحة زوجين من المستطيالت الجانبية المساحة الجانبية = محيط القاعدة االرتفاع = )الطول + العرض( االرتفاع S A = (L + W) h إذ تمثل S A المساحة الجانبية و L طول القاعدة و w عرض القاعدة و h االرتفاع المساحة الكلية: هي مجموع مساحة الوجوه الستة المستطيلة التي تمثل سطح الشكل المجسم أي إنها مجموع المساحة الجانبية مع مجموع مساحة القاعدتين لذلك: المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين T A = (L+w) h + L w إذ T A تمثل المساحة الكلية و L طول القاعدة و w عرض القاعدة و h االرتفاع. 43

44 مثال )3( جد المساحة الجانبية والكلية لمتوازي السطوح المستطيلة الذي أبعاده 3 cm 4, cm 8, cm قانون المساحة الجانبية لمتوازي السطوح بالرموز S A = (L+W) h ع و ض وبس ط = = 3 (8+4) = A S لذا تكون المساحة الجانبية لمتوازي السطوح = 7 cm استعمل قانون المساحة الكلية لمتوازي السطوح بالرموز L T A = (L+w) h + L w ع و ض وبس ط T A = (8+4) = = 136 لذا تكون المساحة الكلية لمتوازي السطوح = 136 cm مثال )4( علبة أعواد الثقاب: العلبة على شكل متوازي سطوح مستطيلة أبعادها cm,3cm 5, cm احسب مساحة اللوح )الكرتوني( الالزمة لصناعتها. T A= (L+w) h + L w T A= (5+3) T A= = 6 لذا فإن مساحة اللوح )الكرتوني( الالزمة لصناعتها تساوي 6 cm ت أك د من فهم ك 1 متوازي سطوح مستطيلة طول قاعدته 4 cm وعرضه 8 cm وارتفاعه 8 cm فما مساحته الكلية االسئلة - 1 مشابهة لألمثلة 4 3 مكعب طول حرفه.4 cm فما مساحته الجانبية متوازي سطوح مستطيلة ارتفاعه ثالثة أمثال طول قاعدته فإذا كان طول القاعدة 4 cm وعرضه 8 cm فما مساحته الجانبية والكلية 3 تدرب وحل التمرينات متوازي سطوح أبعاده 6 cm 5 cm 3 cm احسب كال من مساحته الجانبية والكلية. متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة طول حرفها 5 cm وارتفاعهcm 10 احسب كال من المساحة الجانبية والمساحة الكلية له. متوازي سطوح مستطيلة مساحته الجانبية 49 cm ومحيط قاعدته 1 cm فما ارتفاعه متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة وارتفاعه 10 cm فإذا كانت مساحته الجانبية 80 cm فما طول ضلع قاعدته المربعة

45 تدرب وحل مسائل حياتية حوض سباحة : حوض سباحة على شكل متوازي سطوح أبعاد قاعدته 4 m 8 m وارتفاعه.5 m يراد رصفه بقطع مربعة من السيراميك طول حرفها 0. m احسب عدد القطع الالزمة لذلك. 8 اثاث منزلي : خزانة خشبية واجهتها تتألف من ستة أدراج متساوية المساحة مستطيلة الشكل أبعاد كل درج 0.5. m 1, m فإذا كان عرض الخزانة m احسب المساحة الجانبية والمساحة الكلية للخزانة. 9 ف ك ر تحد : رصفت 45 قطعة خشبية كل منها على شكل متوازي سطوح مستطيلة قاعدتها مربعة طول حرفها. cm وارتفاعها 3 cm كما في الشكل المجاور. احسب المساحة الكلية للمجسم الناتج. مسألة مفتوحة: خزان ماء على شكل متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة وارتفاعه خمسة أمثال طول قاعدته فإذا علمت أن الماء أصبح بداخله على شكل مكعب حجمه 40 m 3 فما ارتفاع الخزان حس عددي : أيهما له تأثير أكبر على المساحة الجانبية لمتوازي السطوح المستطيلة. i( مضاعفة مساحة قاعدته )ii مضاعفة االرتفاع بر ر إجابتك بمثال عددي. 1 ا كتب صيغة رياضية عامة للمساحة الكلية لمتوازي سطوح طوله k cm وعرضه نصف طوله وارتفاعه ثالثة أمثال طوله. 45

46 الدر س تأثير المعدل )المقياس( على الحجم والمساحة السطحية )تكبير وتصغير( Rate effect (scale) on the volume and surface area (zoom in and zoom out) ]6-4[ فكرة الدرس تأثير تكبير وتصغير األشكال المجسمة على حجمها ومساحتها السطحية المفردات - -التمدد - -معامل التمدد - -التكبير - التصغير - -التصغير ت ع ل م لديك مكعب طول حرفه 1 cm ومكعب آخر طول حرفه 3 cm استخرج الحجم والمساحة السطحية لكل منهما. قارن{ بين الحجم لكل منهما ثم استنتج العالقة بين الحجمين. 1 cm 3 cm قارن بين المساحة السطحية لكل منهما ثم استنتج العالقة بين المساحتين. مراجعة لمفهوم التمدد ومركز التمدد A Review of Concept of Extensibility and Center Expansion التمدد: هو الصورة الناتجة عن تكبير أو تصغير شكل معطى وهي صورة تماثل األصلية واألبعاد فيها متناظرة معها. مركز التمدد: هي إحدى نقاط الشكل األصلي نثبتها عند القياس بهدف تعديل قياسات الشكل. معامل التمدد: هو النسبة بين أبعاد الصورة إلى أبعاد الشكل األصلي. قاعدة )1( إذا كان V يمثل حجم المكعب األصلي و 'V يمثل الحجم الجديد بعد تكبير طول الحرف بمعامل تمدد مقداره V' = k 3.V = (k.k.k).v فإن: k قاعدة )( إذا كان A يمثل المساحة )سواء الجانبية أو الكلية( للمكعب األصلي و '(A T) تمثل المساحة الجديدة بعد تكبير طول الحرف بمعامل تمدد مقداره k فإن: A' = k.a = (k.k).a مثال )1( نحاول التأكد من هاتين القاعدتين باستعمال المعطيات في فقرة )ت ع ل م ( حجم المكعب األصلي V = (L L L) = (1 1 1) = 1 cm 3 المساحة الكلية للمكعب األصلي T A = 6 L L = 6 1 1= 6 cm عند تكبير طول الحرف بمعامل تمدد مقداره 3 يصبح طول الحرف 3 1 = cm 3 حجم المكعب بعد التمدد V' = (L L L) = (3 3 3) = 7 cm 3 المساحة الكلية للمكعب بعد التمدد )T A)' = 6 L L = = 54 cm 46

47 قاعدة )3( إذا كان V يمثل حجم متوازي السطوح األصلي و 'V يمثل الحجم الجديد له بعد تكبير كل من أبعاده بمعامل تمدد مقداره k فإن: V' = k 3.V = (k. k. k).v قاعدة )4( إذا كان A يمثل المساحة )سواء الكلية أم الجانبية( لمتوازي السطوح األصلي و 'A يمثل المساحة الجديدة له بعد تكبير طول الحرف بمعامل تمدد مقداره k فإن: A' = k.a = (k. k). A مثال )( متوازي سطوح مستطيلة أبعاده 15. cm 1, cm 30, cm ص ن ع نموذج مماثل له مع تمدد بمعامل مقداره ( 3 = 1 k( جد باستعمال القاعدتين 3 و 4 الحجم والمساحة الجانبية للنموذج المصغر. V = L w h = = 5400 cm 3 نجد الحجم والمساحة الجانبية لمتوازي السطوح األصلي: S A = (L + W) h = (1 + 30) 15 = 160 cm V'=k 3.V = (k. k. k).v = ( (S A)' = k.(s A) = (k. k). (S A) = ( نجد الحجم والمساحة الجانبية لمتوازي السطوح المصغر: ) 5400 = ) 160 = = 00 cm3 = 140 cm حصالة النقود: ص ن ع نموذج مصغر لحصالة نقود على شكل مكعب طول حرفه 8. cm فاذا أ ريد صنع نموذج مكبر منها بمعامل تمدد مقداره 3 احسب الحجم والمساحة الجانبية للنموذج المكبر. مثال )3( حجم النموذج قبل التكبير V = (L L L) = (8 8 8) = 51 cm 3 المساحة الجانبية قبل التكبير S.A = 4 L L = = 56 cm الحجم والمساحة الجانبية بعد التكبير V' = k 3.V = (k.k.k).v = ( ) 51 = 178 cm3 (S A)' = k.(s A) = (k.k). (S A) = ( 3 3 ) 56 = = 576 cm 47

48

49 تدرب وحل مسائل حياتية مكعب ثلج : مكعب من الثلج طول حرفه 5cm يذوب بمعامل قدره. 1 5 احسب مساحته السطحية بعد الذوبان على فرض ان مكعب الثلج يحافظ على شكله االصلي. 8 معجنات : وضعت عجينة الكيك في قالب معدني على شكل متوازي سطوح مستطيلة أبعاد قاعدته 30 cm, 5 cm فكان ارتفاع العجينة. cm وبعد إخراجها من الفرن ظهر أن ارتفاعها ازداد بمعامل تمدد مقداره. 4 احسب حجمها. 9 اسفنج : قطعة من اإلسفنج أبعاد قاعدتها 100 mm 60 mm وارتفاعها 0 عند mm تغطيسها بالماء تتمدد أبعادها بمعامل تمدد مقداره 1.5 احسب مساحتها الكلية بعد التمدد. 10 ف ك ر 11 تحد : كيف يمكنك أن تحول مكعبا طول حرفه 3 cm إلى متوازي سطوح مستطيلة بنفس الحجم بإجراء تمددين مختلفين على بعدين من أبعاده مسألة مفتوحة: ماذا تتوقع أن يكون معامل التمدد لمتوازي سطوح مستطيلة إذا أ ث ر على أبعاده كاآلتي: الطول بمعامل تمدد 3 والعرض بمعامل تمدد 5 واالرتفاع بمعامل تمدد 7 حس عددي : إذا كبرنا المكعب تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره 5 ثم صغرنا المجسم الناتج تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره 1 فماذا تتوقع أن يكون معامل التمدد النهائي للمكعب ا كتب صيغة رياضية عامة إليجاد المساحة الكلية لمتوازي سطوح مستطيلة طول حرف قاعدته المربعة 1 x cm وارتفاعه ثالثة أمثال طول حرف قاعدته تحت تأثير تمدد معامله 3 49

50 Surface Area and Volumes of compound three dimensional shapes الدر س المساحة السطحية والحجوم لالشكال المجسمة المركبة ]6-5[ فكرة الدرس إيجاد المساحة السطحية والحجم لألشكال المجسمة المركبة. المفردات شكل مجسم بسيط شكل مجسم مركب ت ع ل م وضع مكعبان متماثالن طول حرف كل منهما 5 cm أحدهما فوق اآلخر كما في الشكل المجاور فتكون شكل مجسم مركب حدد الشكلين المجسمين البسيطين اللذين يتكون منهما هذا الشكل المجسم المركب ثم جد المساحة السطحية للمكعب وحجمه إيجاد الحجم والمساحة السطحية لشكل مستو مركب Finding a Size and Surface Area of the Composite plane يتكون المجسم المركب من مجسمين بسيطين أو أكثر لذلك نقوم بتقسيمه إلى أجزاء مجسمة بسيطة. نحسب الحجم والمساحة السطحية لكل مجسم بسيط على انفراد. نجمع األحجام للمجسمات البسيطة للحصول على حجم المجسم المركب. نجمع المساحات السطحية للمجسمات البسيطة مطروحا منها المساحات المشتركة للحصول على المساحة السطحية للمجسم المركب. مثال )1( نحاول إيجاد الحجم والمساحة السطحية للمجسم المركب في فقرة )ت ع ل م (. المجسمان البسيطان اللذان يتكون منهما الشكل المركب هما مكعبان متماثالن طول حرف كل منهما 5. cm نجد المساحة السطحية والحجم للمكعب الواحد كاآلتي: نحسب الحجم للمجسم المركب كاآلتي: V = L L L = = 15 cm 3 T A = 6 L L = = 150 cm V = 15 = 50 cm 3 لحساب المساحة السطحية للمجسم المركب المجاور البد من طرح ضعف مساحة الوجه المشترك وهو قاعدة أحد المكعبين والتي تساوي A = 5 5 = 5cm وبذلك تكون المساحة السطحية للمجسم المركب 5 cm 5 cm T A = = = 50 cm 50

51 مثال )( في الشكل المجاور.الحظ أنه يمكن تجزئة المجسم المركب إلى ثالثة اشكال مجسمة بسيطة هي المكعب واثنان من متوازي السطوح المستطيلة المتساويان في األبعاد. لحساب حجم الشكل المركب نجد الحجم لكل من المكعب ومتوازي السطوح حجم المكعب: V = L L L = = 8 cm 3 حجم متوازي السطوح V = L w h = 5 6 = 60 cm 3 الحجم الكلي = حجم المكعب + حجم متوازي السطوح cm V = = = 18 cm 3 مثال )3( بنايات: البناية التي في الصورة المجاورة عبارة عن عمارة من 4 طبقات متماثلة ويمكن النظر إليها بعد ها شكال مجسما مركبا ومؤلفا من أربعة مكعبات مركبة فوق بعضها فإذا علمنا أن طول حرف المكعب )الذي يمثل كل طبقة( يساوي.5 متر فما حجم البناية الكلي والمساحة الجانبية V = 4 (L L L) V = 4 (.5) (.5) (.5) = 6.5 m 3 أما المساحة الجانبية للبناية فإنها تساوي المساحة الجانبية لكل طبقة 4 S A = 4 (4 L L) = 4 (4.5.5) = 100 m مثال )4( في الشكل المجاور الحظ انه يمكن تجزئة المجسم المركب الى شكلين مجسمين بسيطين وهما المكعب ومتوازي السطوح المستطيلة m m m حجم الشكل الكلي = حجم متوازي السطوح المستطيلة + حجم المكعب ) ( + ) 4 5 ( = m 4 m = 48 cm 3 5 m 51

52 1 ت أك د من فهم ك جد أحجام كل من األشكال المجسمة المركبة اآلتية: cm 3cm cm 3cm 3cm cm تدرب وحل التمرينات إذا علمت أن الشكل المجسم المركب والمؤلف من 8 حاويات ألعواد الثقاب ذات األبعاد cm 4, cm 6, cm فما الحجم الكلي للشكل والمساحة السطحية للجسم المركب 5 أبعاد اللوح األعلى للمنضدة 0.1 m,0.8 m,1. m وأبعاد كل درج من األدراج الستة لها 0. m 0.8, m 0.3, m احسب الحجم الكلي للمنضدة. 6 5

53 30 cm m 1 m 7 تدرب وحل مسائل حياتية منضدة خشبية : منضدة لوحها العلوي بأبعاد 1 m, m 30, cm وارجلها بشكل متوازي سطوح قاعدته مربع طول 5 cm 1 m ضلعه 5 cm وارتفاعها 1. m احسب الحجم الكلي والمساحة السطحية للمنضدة( اهمل المساحات المشتركة عند حساب المساحة السطحية(. اثاث منزلي : التصميم المجاور لمنضدة من الخشب مؤلفة من ثالثة قطع خشبية متماثلة بشكل متوازي سطوح مستطيلة ابعاد كل منها 60 cm 40, cm 15, cm أحسب الحجم الكلي الذي يمثل القطع الثالثة. 8 فكر تحد : حاول أن ترسم على ورق المربعات شكال مجسما مركبا منتظما مؤلفا من مكعب ومتوازي السطوح مختلفة االحجام وافرض لها أبعاد من عندك ثم استخرج حجم الشكل ومساحته السطحية 9 مسألة مفتوحة: كيف يمكن لك أن تقد ر حجم شكل مجسم مركب من أشكال مجسمة بسيطة غير منتظمة 10 حس عددي : شكل مجسم مركب مصنوع من رصف عدد من المكعبات الخشبية التي طول حرف كل منها cm فإذا كانت أبعاده cm,4 cm,10 cm فما عدد المكعبات 11 ا كتب صيغة رياضية لحجم شكل مجسم مركب مؤلف من k من المكعبات المرصوفة بعضها فوق بعض التي طول حرف كل منها n من السنتيمترات. 53

54 Paving Area الدر س مساحة الرصف ]6-6[ فكرة الدرس تحديد أي من المضلعات المنتظمة يمكن استعمالها كوحدة رصف للسطوح المفردات المضلع المنتظم - أقطار المضلع المنتظم شكل خماسي شكل سداسي - شكل سباعي... الرصف- مساحة الرصف ت ع ل م ارسم مثمنا منتظما على قطع من )الكرتون( الملون واستعمل المقص إلفراغ عدد من المثمنات مختلفة األلوان. حاول ترتيبها متجاورة على سطح منضدة من دون أن تترك بينها فراغات. اعد المحاولة مع شكل سداسي منتظم. فك ر لماذا تمكنت من ترتيب قطع )الكرتون( ذات الشكل السداسي المنتظم فيما تعذر عليك ذلك في الشكل المثمن المنتظم ]6-6-1[ المضلع المنتظم وأقطاره وقياس زاويته Regular Polygon and, Diameters and Angle Measuring المضلع المنتظم: هو مضلع أبعاده متساوية األطوال وزواياه متطابقة مثل المثلث متساوي األضالع والمربع. ترسم أقطار المضلع المنتظم بقطعة مستقيم تصل بين رأسين غير متجاورين فيه. قياس زاوية المضلع المنتظم الذي عدد اضالعه n هي : )n-) 180 θ = n مثال )1( نحاول إيجاد قياس كل زاوية في الشكل السداسي وكاآلتي: نختار أحد رؤوسه ومنه نرسم كل األقطار الممكنة وعددها ثالثة ونقوم بحساب عدد المثلثات المتكونة وهي أربعة مثلثات منتظمة. بما أن مجموع زوايا المثلث هو 180 لذا يكون مجموع زوايا الشكل السداسي: = 70 نحسب قياس كل زاوية من زوايا الشكل السداسي بقسمة مجموع زوايا الشكل السداسي على عدد زواياه كاآلتي: 70 6 =10 إذن قياس كل زاوية في الشكل السداسي هو 10 درجة. 54

55 ]6-6-[ الرصف ومساحة الرصف Paving and Paving Area تسمى عملية ترتيب المضلعات متجاورة بعضها إلى بعض بنمط معين بحيث تغطي كامل المنطقة التي يراد العمل عليها دون تداخل فيما بينها ومن دون ترك أية فراغات بال )الرصف(. يشترط في إتمام تتم عملية الرصف بشكل صحيح أن تكون قياسات الزوايا الملتقية في الرصف هي )360( درجة. التخاذ القرار بشأن صالحية مضلع منتظم ليكون أساسا للرصف ينبغي أن يكون حاصل قسمة )360( درجة على قياس زاوية المضلع المنظم عددا صحيحا أي أن تكون القسمة من دون باق. يحدد عدد قطع المضلع المنتظم المستعمل أساسا للرصف بقسمة المساحة المطلوب رصفها على مساحة الوحدة التي تستعمل للرصف )قطعة السيراميك مثال ( التي غالبا ما يكون لها قياسات ثابتة. مثال )( هل يمكن رصف أرضية غرفة باستعمال قطع من السيراميك خماسية الشكل وضح ذلك. 108 θ = الخطوة األولى: نستخرج قياس زاوية الشكل الخماسي وكاآلتي: )n-) 180 (5 - ) 180 = = n = الخطوة الثانية : نقس م 360 على = 3.3 إذ إن ناتج القسمة ليس عددا صحيحا فإنه ليس من الممكن استعمال قطع خماسية للرصف كون قياسات الزوايا الملتقية في الرصف أقل من 360 درجة ( اي تترك فراغات بين القطع ) مثال )3( هل يمكن رصف أرضية غرفة باستعمال قطع من السيراميك سداسية الشكل وضح ذلك. الخطوة األولى: نستخرج قياس زاوية الشكل السداسي وكاآلتي: θ = )n-) 180 n (6 - ) 180 = = = الخطوة الثانية : نقس م 360 على = 3 إذ إن ناتج القسمة عددا صحيحا فإنه من الممكن استعمال قطع سداسية للرصف كون قياسات الزوايا الملتقية في الرصف تساوي 360 درجة ( اي ال تترك فراغات بين القطع ) 55

56 1 ت أك د من فهم ك االسئلة مشابهة لألمثلة جد قياس الزاوية لمضلع منتظم عدد اضالعه 1 ضلعا. هل يمكن رصف جدران المطبخ بقطع من السيراميك مثلثة الشكل وضح ذلك. حائط على شكل مستطيل أبعاده 3 m 3.6, m يراد تزيينه برصف قطع مربعة من الموزاييك طول ضلعها 60. cm احسب عدد القطع الالزمة يراد رصف أرضية حمام مربعة الشكل طول ضلعها m بقطع من السيراميك مستطيلة الشكل أبعادها. 0.5 m 0.5 m احسب عدد القطع الالزمة لذلك. يقوم عامل الرصف بمطابقة أربع قطع من بالط الرصف المربعة التي طول ضلع كل منها 5 cm بالطريقة التي يحافظ بها على ظهور الشكل الهندسي المبين بالصورة. فإذا كانت المساحة المطلوب رصفها على شكل مستطيل أبعاده 6. m 8 m احسب عدد القطع الالزمة بطريقتين مرة مع مراعاة الترتيب للبالطات بما يؤمن ظهور الشكل ومرة ثانية من دون مراعاة ذلك. ماذا تستنتج 5 تدرب وحل التمرينات ارسم مسبعا منتظما وارسم جميع أقطاره الممكنة. كم مثلثا تكو ن لديك جد قياس الزاوية لكل من المضلعات المنتظمة التي عدد أضالعها: i( 7 أضالع )مسبع( أضالع )مثمن( 5 ضلعا )ii )iii 8 هل يمكن إجراء الرصف بقطع السيراميك الموصوفة في أدناه: بشكل مضلع منتظم ذي تسعة أضالع بشكل مضلع منتظم ذي عشرة أضالع )i )ii )iii بشكل مضلع منتظم ذي 11 ضلعا 9 إذا كانت مساحة قطعة ألعاب التجميع الملونة 4. cm كم قطعة نحتاج لرصف سطح منضدة مستطيلة ابعادها 30 cm 40, cm على أن يتم قص الزوائد في المحيط وإلصاقها في مواضعها المناسبة في الفراغات المتبقية. 56

57 تدرب وحل مسائل حياتية خلية النحل مضلع سداسي منتظم مساحته 5 cm فإذا كان اللوح الذي يحمل الخاليا مستطيل الشكل وأبعاده 40 cm 60, cm فما عدد الخاليا التي يحملها اللوح 10 يريد صاحب منزل ان يحيط حديقته المستطيلة الشكل التي أبعادها 3 m 4, m بقطع مربعة من البالط الملون الذي مساحة سطحه متر مربع واحد شرط أن تكون األركان من دون حواف حادة )أي باستعمال قطعة مثلثة مساحتها نصف مساحة البالطة وشكلها مثلث قائم الزاوية( كما موضح في الشكل المجاور. فوجد أنه يحتاج إلى 16 بالطة. كم بالطة من نفس النوع يحتاج صاحب منزل آخر أبعاد حديقته 5 m 6, m حائط مستطيل الشكل أبعاده 9 m 18, m يحتوي على نافذتين كل منها على شكل مستطيل ابعاده 1 m 0.5, m تعلوه نصف دائرة مساحتها 0.5 m يراد رصفه باستعمال قطع من الموزاييك السداسية الشكل مساحة سطح كل منها.14. m احسب عدد قطع الموزاييك الالزمة ف ك ر تحد : حاول أن تتوصل إلى طريقة يمكن بها استعمال مثلث متساوي الساقين قياس الزاوية الرأسية فيه 70 في الرصف. مسألة مفتوحة: مضلع منتظم عدد اضالعه k استنتج قاعدة لعدد أقطاره عن طريق أخذ أربع قيم متتالية ل k. حس عددي : من دون استعمال الورقة والقلم خمن هل يمكن استعمال االشكال التالية التي على شكل مضلع ث ماني منتظم في عملية رصف ا كتب كيف يمكن استعمال متوازي األضالع الموضح في الشكل المجاور في رصف أرضية غرفة. 57

58 الدر س خطة حل المسألة )البحث عن نمط( A plan for problem solving - (searching for pattern) ]6-7[ فكرة الدرس استعمل البحث عن نمط في حل المسائل. ت ع ل م لديك ثالثة مضلعات منتظمة هي المثلث والمربع والمخمس. احسب عدد أقطار كل مضلع عن طريق رسم قطعة مستقيمة بين رأسين غير متجاورين في المضلع. استنتج كم قطرا يكون لمضلع عدد أضالعه سبعة افهم ما المعطيات في المسألة: المثلث بثالثة أضالع والمربع بأربعة أضالع والمخمس له خمسة أضالع ما المطلوب في المسألة: حساب عدد أقطار كل شكل واالستنتاج كم سيكون عدد أقطار مضلع له سبعة أضالع خطط كيف نحل المسألة ننظم جدوال بالمعطيات للبحث عن النمط الذي يربط عدد أضالع المضلع بعدد أقطاره. حل الجدول التالي يوضح العالقة بين عدد أضالع المضلع وعدد أقطاره: وعليه فإن عدد أقطار المضلع ذي السبعة أضالع هو 14 قطرا. تحقق ت أك د من صحة حلك برسم الشكل وحساب عدد األقطار. 58

59 Problems م سائل استعمل البحث عن نمط لحل المسائل اآلتية: سيراميك: استعمل مهندس التصميم قطعة من السيراميك الموضحة في الصورة المجاورة لرصف جدران الحمامات وبعد أن أكملها قرر إضافة إطار آخر يحيط باإلطار األزرق. استعمل استراتيجية حل المسألة )البحث عن نمط( لمعرفة عدد مربعات اإلطارالجديد. هل تستطيع أن تخمن لون المربعات في األركان األربعة 1 مثلثات: استعمل استراتيجية حل المسألة )البحث عن نمط( لرسم الشكلين التاليين في سلسلة المضلعات اآلتية: 3 مستطيالت متداخلة: استعمل استراتيجية حل المسألة )البحث عن نمط( إليجاد مساحة المستطيل الكبير في الشكل المبين أدناه إذا علمت أن أبعاد المستطيل الصغير cm 4 cm وأن أبعاد المستطيالت التي تحيطه تتزايد بمقدار cm في كل مرة. 59

60 المفردات English عربي Compound Planer shapes اشكال مستوية مركبة Perimeter المحيط Area المساحة Expansion التمدد Expansion Center مركز التمدد Enlargement تكبير مراجعة الف صل English عربي Reduction تصغير Volume الحجم Side Area المساحة الجانبية Total Area المساحة الكلية Cube مكعب متوازي السطوح Parallelepipeded Chapter Review الدرس ]6-1[ مثال 1 : تحت تأثير تمدد معامله جد صورة المربع الذي رؤوسه النقاط )3,3(,)5,3(,)5,1(,)3,1( الراس )3,1( )5,1( تأثير المعدل )المقياس( على المحيط والمساحة صورة الراس )6,( تدريب 1 : تحت تأثير تمدد معامله 1 جد صورة 4 الدائرة التي مركزها نقطة األصل ونصف قطرها )10,( )10,6( )6,6( )5,3( )3,3( 16 cm تدريب : بالشكل االسفل إذا كانت الدائرة الصغيرة هي صورة الدائرة الكبيرة تحت تأثير تمدد جد معامله )6 3( )3 3( )5 3( )6 6( )10 6( )6 ( )3 1( )5 1( )10 6( 60 الدرس ]6-[ حجوم االشكال المجسمة )المكعب متوازي السطوح( مثال 1 : جد حجم متوازي سطوح ابعاده 3 cm,7 cm,4 cm V = L w h V = = 84 cm 3 مثال : متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة وارتفاعه 1 سم فاذا كان حجمه 300 cm 3 فما طول ضلع قاعدته المربعة V = L L h 300 = L L 1 L L = 300 = 5 L = 5 cm 1 تدريب 1 : جد حجم متوازي سطوح ابعاده 6 cm 9 cm,15 cm تدريب : جد حجم مكعب طول حرفه 11 cm تدريب 3 : متوازي سطوح مستطيل طول قاعدته ضعف عرضها وارتفاعه نصف عرضه البالغ 6 cm جد حجمه.

61 الدرس ]6-3[ المساحة الجانبية والمساحة الكلية لالشكال المجسمة )المكعب-متوازي المستطيالت( مثال 1 : جد المساحة الجانبية والكلية لمتوازي سطوح ابعاد قاعدته 6cm 5cm وارتفاعه 7cm المساحة الجانبية: S A = (L+W) h S A = (5+ 6) 7 = 154 cm المساحة الكلية: T A = (L+w) h + L w T A = (5+ 6 ) T A = 14cm مثال : جد المساحة الجانبية والكلية لمكعب طول حرفه. 5 cm S A = 4 L L = = 100 cm T A = 6 L L = = 150 cm تدريب 1 : جد المساحة الجانبية والكلية لمتوازي سطوح ابعاد قاعدته 7cm 10cm وارتفاعه 4cm تدريب : جد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لمكعب طول حرفه 9. cm تدريب 3 : متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة وارتفاعه 10 cm فاذا كانت مساحته الكلية 360 cm فما طول ضلع قاعدته المربعة تدريب 4 : مكعب مساحته الكلية 16 cm فما طول حرفه الدرس ]6-4[ تأثير المعدل )المقياس( على الحجم والمساحة الكلية مثال 1 : مكعب طول حرفه 5 cm تعرض لتمدد تكبير بمعامل مقداره 3. جد كل من حجمه ومساحته الكلية بعد التكبير. حجم المكعب قبل التكبير V = (L L L) = (5 5 5) V = 15 cm 3 المساحة الجانبية قبل التكبير S A = 4 L L = S A = 100 cm الحجم والمساحة الجانبية بعد التكبير V' = k 3.V= (k.k.k).v = (3 3 3) 15 = 3375 cm 3 (S A)' =k.(s A) = (k.k).(s A) = (3 3) 56 = 304 cm تدريب 1 : متوازي سطوح مستطيلة أبعاد قاعدته 6cm cm وارتفاعه 4cm جد كل من حجمه ومساحته الجانبية تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره 3 تدريب : إذا علمت ان المساحة الجانبية لمكعب 64 cm وان مساحته الجانبية قد تقلصت تحت تأثير تمدد لتصبح 16. cm احسب مقدار معامل التمدد. تدريب 3 : متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة طول حرفه 4 cm وارتفاعه ثالثة أمثال طول قاعدته المربعة. جد مساحته الكلية تحت تأثير تمدد 3 معامله 4 61

62 الحجوم لالشكال المجسمة المركبة الدرس ]6-5[ مثال 1 : وضعت 10 مكعبات متماثلة طول حرف كل منها 3cm أحدها فوق االخر فما حجم المجسم المركب الناتج: V = 10 (L L L) V = 10 (3 3 3) V = 70cm 3 مثال : وضعت 3 من متوازيات السطوح المستطيله المتماثلة والتي ابعاد كل منها cm, 3 cm,6 cm احدها فوق االخر فتكون مجسم فما حجمه V = 3 (L W h) V = 3 ( 3 6) V = 108cm 3 تدريب 1 : جد حجم المجسم المركب المتكون من وضع 5 مكعبات متماثلة طول حرف كل منها 4 cm متجاورة مع بعضها تدريب : جد المساحة الجانبية لمجسم مركب مكون من 4 مكعبات متماثلة طول حرف كل منها 1.5 cm موضوعة بشكل متجاور. تدريب 3 : جد حجم المجسم المركب المتكون من وضع 4 من متوازيات السطوح المستطيلة المتماثلة والتي ابعاد كل منها cm,3 cm,6 cm متجاورة مع بعضها مساحة الرصف الدرس ]6-6[ مثال 1 : جد قياس كل زاوية في مضلع منتظم عدد اضالعه 9 θ = (-9) = 140 = 9 n لذلك يكون مثال : هل يمكن الرصف باستخدام بالطة منتظمة ذات 1 ضلعا تدريب 1 : هل يمكن الرصف باستخدام بالطة منتظمة ذات ضلعا تدريب : جد عدد المضلعات المنتظمة التي عدد اضالع كل منها 6 أضالع والتي يمكن رسمها بطريقة الرصف على ورقة رسم مستطيلة ابعادها 5 cm 0, cm اذا علمت ان مساحة كل منها 0 cm = 1 n لذلك يكون θ = (1-) = ال يساوي عددا وحيث ان ناتج قسمة 150 صحيحا فانه من غير الممكن استخدام هذه البالطة للرصف. تدريب 3 : هل يمكن الرصف باستخدام عدد من قطع السيراميك اذا كان شكل القطعة الواحدة هو شبه منحرف ارسم شكال توضيحيا 6

63 Chapter Test اختبار الف صل ليكن ABCD مستطيال رؤوسه A(-,6),B(,6),C(,-4),D(-,-4) أرسمه واستخرج مساحته ثم ارسم تمددا له مركزه نقطة االصل ومعامله 1 واستخرج مساحته ايضا. مكعب حجمه 15 cm 3 فما طول حرفه متوازي سطوح مستطيلة حجمه 96 cm 3 فاذا كانت مساحة قاعدته 1 cm فما ارتفاعه متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة وارتفاعه 1 cm فاذا كان حجمه 768 cm 3 فما طول ضلع قاعدته المربعة. جد الحجم والمساحة الجانبية والمساحة الكلية لمكعب طول حرفه 7 cm جد الحجم والمساحة الجانبية والمساحة الكلية لمتوازي سطوح مستطيلة ابعاد قاعدته 10cm 15cm وارتفاعه 0cm مكعب طول حرفه 4 cm استخرج حجمه االصلي وحجمه تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره. 3 مكعب طول حرفه 4 cm استخرج مساحته الكلية االصلية ثم مساحته الكلية تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره 4 اذا علمت ان المساحة الكلية لمتوازي سطوح مستطيلة تساوي 17 cm وان المساحة الكلية له تحت تأثير تمدد تكبير يساوي 153 cm احسب مقدار معامل التمدد. هل يمكن رصف قطعة ارض ببالطات على شكل مثمن منتظم وضح ذلك. مجسم مركب مؤلف من 8 مكعبات متماثلة طول حرف كل منها 10 cm و 4 من متوازيات السطوح المستطيلة المتماثلة ابعاد كل منها. cm 4, cm 6, cm احسب الحجم الكلي للمجسم. يريد عبد اهلل رصف ممر مربع الشكل طول ضلعه 9 m ببالط مربع مساحة البالطة الواحدة m أحسب عدد البالطات الالزمة إلنجاز عملية الرصف. 63

64 الف صل 7 االإح صاء واالحتمال Statistics and probability الدر س الدر س الدر س الدر س الدر س الدر س الدر س جمع البيأنات وتنظيمها ( الجدول التكراري ) القطاعات الدائرية المضلعات التكرارية الساق والورقة نواتج التجربة وتمثيلها بالشجرة المقارنة بين االحتماالت خطة حل المسألة ( أنشىء نموذجا ) لماذا أليتمكن العلماء من توقع حدوث الكوارث بدقة وبنسة 100% كيف يستخدم الناس الرياضيات عند محاولة التنبؤ او االستعداد للكوارث 64

65 الإختبار القبلي Pretest اذا كأن في بستأن مهند : 9 أشجار تفاح و 13 شجرة تين و 4 أشجار لوز و 7 أشجار إجاص م ث ل البيأنات بجدول اشارات. 1 استعمل البيأنات في الجدول المجاورالذي ي مث ل السرعة القصوى لبعض الحيوأنات لإلجابة عن األسئلة اآلتية : أي الحيوأنات أسرع أي الحيوأنات سرعته 40km/h أي الحيوأنات أبطأ : األسد أم األرنب الحيوأن األسد األرنب الفيل السرعة km/h ا كتب كل كسر مما يلي على صورة نسبية مئوية : ر ت ب األعداد التالية ترتيبا تصاعديا : استعمل الرسم البيأني المجاور الذي يمث ل نشاطات رياضية لتالميذ احدى المدارس في سنة دراسية معينة لإلجابة عن األسئلة اآلتية : أي النشاطات يفضلها التالميذ ر ت ب أفضلية النشاطات. ما عدد التالميذ الذي يفضلون كرة السلة كرة الطائرة كرة السلة كرة القدم ا كتب كل نسبة مئوية مما يلي على صورة كسر عشري : 0% 15 7% 14 13% 13 5% استعمل الدائرة البيأنية المجاورة لإلجابة عن اإلسئلة اآلتية : الرياضيات 30% العلوم اللغة العربية 45% ماالنسبة المئوية لمادة العلوم ما الزاوية التي تمث ل قطاع الرياضيات ما القطاع الذي نسبته المئوية 30%

66 Collecting and Organizing Data الدر س جمع البيأنات وتنظيمها [ 7-1] ف ك ر ة الدرس جمع البيأنات وتبويبها بالجداول التكراري ة. المفردات الجدول التكراري i( ما أكبر أوزأن بين اوزأن الطلبة )ii ماأقل وزن بين اوزأن الطلبة )iii ما عدد الطلبة الذين بلغ وزن كل منهم 47 كغم ت ع ل م جمع مدرس الرياضيات بيأنات عن اوزأن عشرين طالبا من طلبة الصف األول المتوسط فكأنت ألقرب كيلو غرام وكما يلي : 47, 47, 43, 46, 43 44, 45, 47, 44, 47 44, 46, 47, 46, 45 47, 44, 47, 48, 44 جمع البيأنات وتنظيمها Collecting and Organizing Data لإلجابة عن األسئلة أعاله وغيرها بسهولة وقليل من الوقت نحتاج إلى تمثيلها في جدول تكراري ليساعدني في سرد البيأنات بسهولة إذ إن كل قيمة تظهر في البيأنات يقابلها عدد مرات تكرارها. مثال )1( نظ م البيأنات التي جمعها مدرس الرياضيات في جدول تكراري م ث ل البيأنات بجدول تكراري كما يلي : الخطوة ( 1 (: ر ت ب البيأنات تصاعديا 43, 44, 45, 46, 47, 48 الخطوة )( : استعمل إشارات العد لحساب تكرار كل قيمة في الخطوة ( 1 ) الخطوة )3( : اعمل الجدول التكراري : درجات الحرارة إ شارات العد التكرار الخطوة )4( : استعمل الجدول التكراري وأجب عن األسئلة :. 48kg أكبر وزن بين أوزأن الطلبة بلغ i(. 43kg أقل وزن بين أوزأن الطلبة بلغ )ii )iii عدد الطلبة الذين بلغ وزن كل منهم 47kg هو 7 طلبة

67 مثال )( كو ن جدوال تكراري ا في درجات االمتحأن مستعمال المجموعات اآلتية : )i ل , 70-79,, أقل من 70 )ii ما عدد الطلبة الذين حصلوا على )iii ما عدد الطلبة الذين حصلوا على أقل من 70 عندما تكون عدد البيأنات كبيرة أو التي يكون الفرق بين أكبر وأصغر قيمة فيها كبيرا. نعمل جدوال تكراري ا ذي فئات وذلك لسهولة تفسير البيأنات. i( الفئة تضم كل درجات الطالب التي تقع بين. 70, 79 العدد 70 يسمى الحد األدنى لهذه الفئة. العدد 79 يسمى الحد األعلى لهذه الفئة وهكذا بالنسبة للفئات األخرى. أن الفئة تضم أي قيمة من القيم اآلتية : 70, 73, 76, 77, 79 وعددها 5 وهكذا لبقية الفئات اعمل جدوال تكراري ا من عمودين الفئة في العمود األول الفئة class والتكرار في العمود الثأني. )ii عدد الطلبة الذين حصلوا على هو 6 طلبة أقل من 70 )iii عدد الطلبة الذين حصلوا على أقل من 70 هو 5 طلبة التكرار frequency مثال )3( طقس : في أحد أشهر الشتاء في مدينة بغداد سجلت درجرات الحرارة العظمى خالل اسبوع بالدرجات السيلزية وكأنت كما يأتي : 35, 30, 9, 33, 30, 30, 8 34, 8, 33, 35, 30, 8, 9 i( مث ل البيأنات أعاله بجدول تكراري )ii ماأعلى درجة حرارة )iii مااوطأ درجة حرارة درجات الحرارة العظمى التكرار )iv ما عدد األيام التي بلغت درجة الحرارة فيها 30 تصاعدية 3 8 مث ل البيأنات بالجدول التكراري كما يلي : 9 i( ر ت ب البيأنات تصاعديا ثم احسب تكرار كل قيمة C أعلى درجة حرارة بلغت )ii C أوطأ درجة حرارة بلغت )iii )iv عدد األيام التي بلغت درجة الحرارة فيها 4 C 30 أيام

68 سؤال 1 مشابه للمثالين 3 1 تأك د من فهم ك ن ظ م البيأنات التالية في جدول تكراري :,, 1, 6,, 3, 5, 5, 1,, 6, 5, 4, 6, 1, 3, 1 1 قياس : إذا كأنت أطوال 16 طالبا للصف األول المتوسط بالسنتمر كما يلي : 150, 137, 149, 136, 146, 148, 145, , 135, 137, 144, 136, 131, 141, 138 سؤال ك و ن جدوال تكراري ا ألطوال الطلبة مستعمال المجموعات اآلتية : أقل من ماعدد الطلبة الذين أطوالهم أقل من cm 140 ماعدد الطلبة الذين أطوالهم بين cm مشابه للمثال 3 4 تدرب وحل التمرينات 5 ن ظ م البيأنات التالية في جدول تكراري :, 3, 1, 4, 3, 3, 6, 5, 1,, 4, 6, 1, 3,, 5 أجرى عالم بحثا في ساعات النوم على 10 متطوعين لفترة زمنية معينة ودو ن النتائج : 365, 435, 380, 460,400, 45, 440, 490, 500, 505 استعمل النتائج لتكوين جدول تكراري. مستعمال المجموعات اآلتية : أقل من ماعدد المتطوعين األقل من 400 ما عدد المتطوعين في المدة

69 تدرب وحل مسائل حياتية عمال : ت مث ل البيأنات اآلتية اعمار بعض العاملين في إحدى الشركات : 53, 5, 45, 9, 45, 7 7, 31, 50, 3, 30, 47 كون جدول تكراري للبيأنات اعاله. ما عمر أصغر العاملين وأكبرهم سنا في الشركة ماعدد العاملين الذين يبلغ عمر كل منهم اقل من 30 عاما ما العمر الذي تكرر أكثر من غيره لدى العاملين في الشركة صحة : ت مث ل البيأنات التالية أوزأنا لعشرين طفال بالكيلوغرام. 30, 16, 0, 30, 6,, 33, 19, 4, 15 3, 6, 18,7, 31,5, 3, 3, 1, 19, 13 كو ن جدوال تكراري مستعمال المجموعات اآلتية : 30-34, 5-9, 0-4, ماعدد األطفال الذين تقل أوزأنهم عن 30kg ماعدد األطفال الذين تقع أوزأنهم ما بين 30-34kg ف ك ر تحد : إذا كأن عدد األهداف التي تم احرازت في مباراة دوري كرة القدم كما يلي : 4, 5,3,,,, 1, 0, 1, 6, 4, 5, الحظ أن هذه البيأنات تتصاعد من 0 إلى 6 اعتمد ثالثة أوقات بالتساوي. ثم أنشئ جدوال تكراري ا. هل يمكن عرض نفس البيأنات باستعمال الجدول التكراري وإشارات العد ف س ر إجابتك. ا كتب مسألة من واقع الحياة يمكن حل ها باستعمال الجدول التكراري. 69

70 Circular Sectors الدر س القطاعات الدائرية [ 7-] ف ك ر ة الدرس تمثيل البيأنات بالقطاعات الدائرية وتفسيرها المفردات الدائرة البيأنية القطاع ت ع ل م أحد طلبة كلية الزراعة استطلع عن تربية الحيوأنات في المنازل الريفية فوجد أن 75% ممن شملهم االستطالع يربون الدجاج وأن 15% لديهم كالب و 10% في منازلهم قطط. كيف يبي ن الطالب نتائج استطالعه الدائرة البيأنية Circle Graph الدائرة البيأنية : هي الخيار االفضل لتمثيل النسبة المئوية ألنها تبي ن بوضوح مساحة القطاعات والمقارنة بسهولة فيما بينهما. مثال )1( م ث ل البيأنات الواردة في فقرة ( ت ع ل م ) بالقطاعات الدائرية. الخطوة )1( : جد زوأية كل قطاع. الخطوة )( : نرسم الدائرة البيأنية باستعمال الفرجال ثم المنقلة والمسطرة أنطالقا من نصف القطر لرسم زاوية كل قطاع. الخطوة )3( : س م قطاع كل زاوية ولونه قطط زاوية قطاع الدجاج : = زاوية قطاع الكالب : = زاوية قطاع القطط : = كالب دجاح 70 مثال )( i( أي األشجار أقل عددا زراعة : بستأن يحتوي على ( 00 ) شجرة الدائرة البيأنية المجاورة تبي ن النسب المئوية لكل نوع. جد عدد كل نوع من األشجار ثم أجب عما يأتي : )ii أي األشجار أكثر من نصف أشجار البستأن )iii أي الشجار نسبتها المئوية 5% جد عدد األشجار لكل نوع : 60 عدد أشجار البرتقال : 10 = ليمون رمأن 60% 5% 15% برتقال

71 5 عدد أشجار الليمون : 50 = عدد أشجار الرمأن : 30 = i( األشجار األقل عددا هي أشجار الرمأن ( 30 شجرة ) )ii نوع األشجار األكثر من نصف أعداد أشجار البستأن هي أشجار البرتقال = ( 100> 10 ) )iii األشجار التي نسبتها المئوية 5% هي أشجار الليمون. مثال )3( الجدول المجاور يبين نتائج استفتاء حول االلوأن المفضلة لبعض الطلبة. ارسم الدائرة البيأنية التي تمث ل البيأنات المعطاة في الجدول الخطوة )1( : جد مجموع الطلبة الخطوة )( : جد زاوية كل قطاع الخطوة )3( : ارسم الدائرة البيانية واس م قطاع كل زاوية ولو نه. االشتراك في االستفتاء اللون المفضل عدد الطلبة األزرق 6 األحمر 15 األخضر 9 االحمر = زاوية قطاع اللون األزرق : = زاوية قطاع اللون األحمر : = زاوية قطاع اللون األخضر : = االخضر االزرق مثال )4( استطالع : يمث ل الجدول التالي استطالعا للرأي شمل 40 شخصا حول هوأيتهم المفضلة. الهوأيات المفضلة النسبة المئوية الهوأية 15% المطالعة 5% ألعاب الكمبيوتر 55% المشي 5% السباحة i( ما عدد األشخاص الذين يفضلون المشي )ii ما زاوية قطاع السباحة عدد األشخاص الذين يفضلون المشي : زاوية قطاع السباحة : 40 = = 90 71

72 سؤال 1 تأك د من فهم ك استعمل الجدول المجاور وارسم الدائرة البيأنية. مشابه إلى: للمثال 1 1 مجموعة محمد من االقراص المدمجة برامج تربوية 40% معجم لغوي برامج فنية العاب ترفيهية 5% 30% 5% أي األقراص قياس زاويته 90 أي األقراص نسبته 30% اذا كأن لدى محمد 0 قرص مدمج استعمل الجدول في سؤال )1( وجد عدد االقراص المدمجة لكل نوع ثم اجب عما يلي : 5 سؤال أي االقراص المدمجة أقل عددا هل اقراص االلعاب الترفيهية أكثر ما عدد االقراص التي تمث ل البرامج الترفيهية ما قياس الزاوية التي تمث ل االلعاب الترفيهية مشابه إلى: للمثال تدرب وحل التمرينات صحف : الجدول المجاور يبين الصحف التي يفضلها مجموعة من األشخاص. مث ل بيأنات الجدول في الدائرة البيأنية. وأجب عما يلي : الوقت : يقضي طالب مع عائلته 10 ساعات مبينة في الجدول أدناه : مث ل البيأنات في الدائرة البيأنية. اجب عما يلي : الصحف المفضلة الصحيفة رياضة إخبارية إعألنات إقتصادية أخرى العدد أي الصحف نسبتها 35% ما زاوية قياس قطاع صحف اإلعألنات الوقت الذي يقضيه الطالب مع عائلته 35% الغذاء مشاهدة التلفزيون المحادثة الرياضة أي األوقات لها نفس النسبة المئوية أي األوقات زاوية قطاعه تساوي 54 ما قياس زاوية قطاع الرياضة كم ساعة يقضيها الطالب في المحادثة 5% 15% 5% 7

73 تدرب وحل مسائل حياتية الطقس : ي مث ل الجدول التالي المعدل الشهري لدرجات الحرارة في أحد مصأيف كردستأن العراق. 17 مث ل البيأنات في الدائرة البيأنية ثم اجب عما يلي : المعدل الشهري لدرجة الحرارة الشهر شباط آذار نيسأن مأيس حزيرأن المعدل ما النسبة المئوية لدرجة حرارة شهر مأيس أي األشهر قياس زاوية قطاعه تساوي 9 ما زاوية قطاع شهر شباط أي شهر نسبته المئوية 5% ف ك ر تحد : قال بعض هواة السباحة أنهم يرغبون في عدهم من هواة المشي دون السباحة بناء على ذلك اصبح قياس زاوية قطاع المشي. 16 كم عدد هؤالء استعمل الجدول في مثال )4(. تبلغ مساحة اليابسة في الكرة األرضية ) 150 (مليون كيلومتر مربع تقريبا. تشكل مساحة القارة القطبية الجنوبية 10% من مساحة اليابسة. ما مساحة القارة القطبية الجنوبية على وجه التقريب 3 ا كتب مسألة من واقع الحياة يمكن حل ها باستعمال الدائرة البيانية. 73

74 Frequency Polygons الدر س المضلعات التكراري [ 7-3] ف ك ر ة الدرس مث ل البيأنات بالمضلع التكراري المفردات المضلع التكراري مركز الفئة ت ع ل م تمث ل البيأنات في الجدول التكراري ارباح ألحد المتاجر الصغيرة ألقرب ألف دينار خالل ثالثين يوما. فئة األرباح التكرار كيف أ ساعد التاجر في استخالص معلومات جديدة من هذا الجدول عن البيأنات األصلية المضلعات التكراري Frequency Polygons المضلع التكراري : هو أحد الطرق في استخالص معلومات جديدة حول البيأنات األصلية وهو عبارة عن خطوط مستقيمة تصل بين النقاط التي احداثياتها مراكز الفئات والتكرار. مركز الفئة : هو مجموع الحدين األدنى واألعلى للفئة مقسوما على. نوصل نهايتي المضلع عادة بالمحور السيني إذ نصل بدأيته بمركز فئة افتراضية واقعة إلى يسار الفئة األولى ويكون تكرارها صفرا. أما نهأية المضلع التكراري فتوصل المحور السيني بمركز فئة افتراضية واقعة إلى يمين الفئة األخيرة ويكون تكرارها صفرا. مثال )1( مث ل البيأنات في فقرة ( ت ع ل م ) بالمضلع التكراري. الخطوة ( 1 ) : اعمل الجدول اآلتي : النقاط (8, 5) مركز الفئات فئة األرباح 6-10 التكرار = = = = = = = = 3 (13, 11) (18, 8) (3, 6) 74

75 الخطوة ( ) : ارسم محورين متعامدين مدرجين يمثألن المحور السيني مراكز الفئات ويمثألن المحور الصادي التكراري ثم حدد النقاط عليه. الخطوة ( 3 ) : نوصل هذه النقاط بقطع مستقيمة باستعمال المسطرة لنحصل على الشكل المجاور تكرار مركز فئة مركز فئة تكرار الخطوة ( 4 ) : تفسير المضلع نالحظ من خالل هذا المضلع التكراري أن األرباح تزاد إلى أن تصل 15 أيام األولى ثم تبدأ بالتناقص مع زيادة عدد األيام بعد 13 يوما. مث ل البيأنات بالمضلع التكراري وصف التغيرات التي تحدث لهذه البيانات. مثال )( نعمل الجدول التالي مستخدمين البيانات المعطاة في المثال. النقاط مركز الفئات اصف البيانات من خالل الجدوال اعاله الفئات يالحظ من المضلع التكراري ان البيانات تزداد حتى تصل الى 5 ثم تبدأ في النزول. التكرار الفئة التكرار تكرار مركز فئة = = = = 54 = = 7 64 = = 3 (17, ) (, 4) (7, 8) (3, 6) 75

76 تأك د من فهم ك 1 مث ل البيأنات في الجدول التكراري اآلتي بمضلع تكراري ثم صف التغيرات التي تحد ث لهذه البيأنات : الفئة التكرار 6 صحة : يبين الجدول التالي ألوزان عشرون طفال بالكيلوغرام. األسئلة - 1 مشابهة للمثالين - 1 م ث ل هذه البيأنات بمضلع تكراري. صف التغيرات التي تحد ث لهذه البيأنات فئة األوزأن التكرار 4 تدرب وحل التمرينات رياضية : يبين الجدول التالية نتائج عشرين رياضيا في لعبة القفز العالي : القفز العالي العالمات 3 مث ل هذه البيأنات بمضلع تكراري صف التغيرات التي تحد ث لهذه البيأنات. 4 5 م ث ل البيأنات في الجدول التكراري التالية بمضلع تكراري ثم صف المتغيرات التي تحد ث لهذه البيأنات : الفئات التكرار 11 76

77 تدرب وحل مسائل حياتية تعليم : تمث ل البيأنات التالية عدد طلبة الصف األول المتوسط الذين يحفظون سورا من القرآن الكريم مصنفين إلى فئات تمث ل عدد هذه السور فئة األوزأن التكرار 6 مث ل هذه البيأنات بمضلع تكراري صف التغيرات التي تحد ث لهذه البيأنات. 7 8 ف ك ر تحد : فصل من قصة عدد صفحاتها 35 صفحة قسمت بالتساوي على 5 مجموعات لقرائتها عدد افراد المجموعات على التوالي 4. 3, 5,, 6 البعد باألمتار م ث ل هذه البيأنات بالجدول التكراري م ث ل هذه البيأنات بالمضلع التكراري. 60 التمثيل باالعمدة المجاورة يمث ل ب عد منازل بعض الطلبة عن مدرستهم باألمتار. 30 م ث ل هذه البيأنات بالجدول التكراري م ث ل هذه البيأنات بالمضلع التكراري. عدد الطلبة كرة السلة : يبين الجدول التكراري )8( رياضيا في لعبة كرة السلة الفئات عدد الرياضيين 14 م ث ل البيأنات بالمضلع التكراري. ا كتب خطوات تمثيل بيانات بمضلع تكراري. 77

78 Stem and Leaf الدر س الساق والورقة [ 7-4] ف ك ر ة الدرس تمثيل البيأنات بالساق والورق المفردات الساق الورقة ت ع ل م درس أحد المختصين دراسة ميدأنية بجمع بيأنات ألوزأن عشرين طالبا من المرحلة المتوسطة وألقرب كيلوغرام وكأنت النتائج كما يلي : kg i( ماأكبر وزن بين اوزأن هؤالء الطلبة )ii ماعدد الطلبة الذين كأن وزن كل منهم الساق والورقة Stem and Leaf التمثيل بالساق والورق تنظيم البيأنات من األصغر إلى األكبر. فاألوراق تمث ل المر ت بة المنزلية ذات القيمة الدنيا.اما الساق فيمث ل المر ت بة المنزلية التالية. مثال )1( استعمل التمثيل بالساق واألوراق لعرض البيأنات. الخطوة )1( : الحظ أن البيأنات تتكون من مر ت بتين لهذا فإن مر ت بة العشرات تمث ل الساق ومر ت بة اآلحاد تمث ل األوراق. اختر سيقأنا باستعمال األرقام 4, 3 )مر ت بة العشرات ) الخطوة )( : اعمل الجدول التالي المتكون من عمودين الساق واألوراق. ا كتب السيقأن في عمودها من األصغر إلى األكبر ( العشرات(. ا كتب أوراق كل ساق إلى يمينه حتى اذا كأنت متكررة )اآلحاد(. األوراق الساق الخطوة )3( : ر ت ب األوراق من األصغر إلى األكبر حتى لو تكررت. األوراق الساق

79 الخطوة ( 4( : االجابة عن األسئلة مستعمال الجدول. الحظ أن الساق 4 فيه عدد أوراق أكثر إذ بلغ عددها 13 ورقة. وان الورقة في الساق تكررت 7 مرات لذلك فإن الوزن 4 كأن هو أكبر األوزأن. الحظ أن الساق 3 فيه 5 أوراق وأن الورقة 8 في الساق 3 تكررت مرتين لذلك فإن عدد الطلبة الذين وزنهم 38 Kg هما اثنأن فقط. مثال )( الجدول التالي يبين ارتفاع بعض أشجار مزرعة بالمتر. i( استعمل الجدول لتمثيل البيأنات بالساق واألوراق. )ii ماعدد األشجار التي يقل طولها عن 18 m )iii ماعدد األشجار التي طول كل منها 0 m ارتفاع األشجار باألمتار استعمل التمثيل بالساق واألوراق لعرض البيأنات عدد األشجار التي تقل طولها عن 18 m هو 5 أشجار. الورقة 0 في الساق تكررت مرتين لذا فإن عدد األشجار التي طولها 0 m هي شجرة. األوراق الساق مثال )3( السرعة : يعرض الجدول أدناه سرعة سيارات بالكيلو متر في الساعة على الطريق العام سرعة السيارات i( م ث ل بيأنات بالساق والورقة. )ii ما عدد السيارات التي سرعتها 74km/hr )iii ما عدد السيارات التي سرعتها أقل من 65km/hr )iv ما أقل سرعة للسيارات األوراق الساق )ii عدد السيارات التي سرعتها 74km/hr هي )iii عدد السيارات التي سرعتها أقل من 65km/hr هي 1 سيارة 59km/hr أقل سرعة للسيارات هي )iv 79

80 تأك د من فهم ك درجات الطلبة طلبة : استعمل التمثيل بالساق واألوراق لعرض البيأنات في الجدول المجاور ماعدد الطلبة الذين درجات كل منهم 80 وأقل 7 سؤال 1 طقس : درجات الحرارة العظمى السليزية هي : استعمل التمثيل بالساق واألوراق لعرض البيأنات أعاله. عدد درجات الحرارة األقل من. 30 ماعدد األيام التي درجات الحرارة فيها اكثر من 3 مشابه إلى: المثال تدرب وحل التمرينات كتب : أسعار الكتب باأللف دينار في البيأنات اآلتية : أسعار الكتب استعمل التمثيل بالساق واألوراق لعرض البيأنات في الجدول أعاله. ماعدد الكتب التي سعرها أقل من 5 الف دينار ما عدد الكتب التي يتراوح ثمنها بين 5 ألف دينار و 39 الف دينار استعمل التمثيل بالساق واألوراق لعرض البيأنات في الجدول أدناه عدد صفحات الفصول ما عدد الفصول التي صفحاتها أكثر من 18 صفحة ما عدد الفصول التي صفحاتها 10 صفحات

81 تدرب وحل مسائل حياتية طيور : تبي ن البيأنات التالية متوسط وزن الطيور الصغيرة ل 1 نوعا مختلفا بالكيلوغرام استعمل التمثيل بالساق واألورق لعرض هذه البيأنات. أي الطيور الصغيرة أخف وزنا ما عدد األوزأن التي تقل عن 1kg عدد الزوار استعمل التمثيل بالساق واألوراق لعرض البيأنات في الجدول المجاور الذي يمث ل عدد زوار مكتبة خالل مدة معينة. ما عدد الزوار الذين عدد زياراتهم أكثر من 0 زيارة كم زائرا زار المكتبة 17 مرة ف ك ر درجات طلبة الصف األول المتوسط لمادة الرياضيات ممث لة بالساق واألوراق كما مبينة في الجدول أدناه : األوراق الساق استعمل الجدول وأجب عما يلي : أي الدرجات كانت أكثر تكرارا بين درجات الطلبة ما عدد الطلبة الذين رسبوا في مادة الرياضيات ما عدد الطالب الذين حصلوا على اقل من 60 درجة رياضة : البيأنات التالية تمث ل عدد مرات الفوز التي حققتها عشرة دول في سباق الدرجات استعمل التمثيل بالساق واألوراق لعرض البيأنات استعمل التمثيل بالساق واألوراق واجب عما يلي : اعدد الدول التي فازت أكثر من 10 مرات ما عدد الدول التي فازت 1 مرة في السباق ا كتب مسالة من واقع الحياة ومث لها بالساق واألوراق 81

82 نواتج التجربة وتمثيلها Outcomes of Experiment and Organizing الدر س [ 7-5] ف ك ر ة الدرس تحد يد نواتج التجربة وتمثيلها المفردات التجربة النتيجة الجدول الشجرة فضاء العينة نواتج التجربة وتمثيلها ت ع ل م مع أحمد صندوق يحتوي على أشكال هندسية مجسمة تختلف من حيث لونها فمنها األحمر ومنها األزرق وتتخذ شكلي المكعب وشبه المكعب. قام أحمد بسحب مجسم واحد كل مرة ما االحتماالت التي حصل عليها احمد Outcomes of Experiment and Organizing التجربة نشاط تراقب فيه النتائج. ويمكن تنظيم هذه النتائج بطريقتين هما الجدول والشجرة. وتكتب هذه النتائج داخل قوسين من نوع { } وتسمى هذه المجموعة فضاء العينة. مثال )1( الطريقة األولى : الرسم الشجري يمكنني تكوين المجموعات في فقرة)ت ع ل م ( بطريقة الشجري. أحمر مكعب أزرق شبه مكعب أحمر أزرق عدد االحتماالت أربعة فضاء العينة هو { } الطريقة الثأنية : الجدول يمكنني تكوين المجموعات في فقرة )ت ع ل م ( بطريقة الجدول. الشكل اللون الناتج النموذج مكعب أحمر مكعب أحمر شبه مكعب أزرق شبه مكعب أزرق مكعب أزرق مكعب أزرق شبه مكعب أحمر شبه مكعب أحمر 8

83 طعام : إذا أردت تناول شطيرة دجاج أو شطيرة لحم مع الجبن أو الطماطم أو البطاطا. جد عدد النواتج مستعمال : i( الرسم الشجري )ii الجدول مثال )( النواتج ( دجاج جبن( ( دجاج طماطم ) ( دجاج بطاطا ) الطريقة األولى : الرسم الشجري جبن دجاج طماطم بطاطا لحم عدد االحتماالت ستة ( لحم جبن( جبن ( لحم طماطم ) طماطم ( لحم بطاطا ) بطاطا فضاء العينة هو { ( دجاج جبن( ( دجاج طماطم ) ( دجاج بطاطا ) ( لحم جبن( ( لحم طماطم ) ( لحم بطاطا ) } الطريقة الثانية : الجدول الشطيرة دجاج لحم دجاج لحم دجاج لحم النوع جبن طماطم بطاطا جبن طماطم بطاطا الناتج ( دجاج جبن( ( لحم طماطم ) ( دجاج بطاطا ) ( لحم جبن( ( دجاج طماطم ) ( لحم بطاطا ) دو ر المؤشر في القرص الدوارالمجاور مرتين ثم ا كتب جميع االحتماالت مستعمال الشجرة. A ( A, A ) ( C, A ) A ( A, B ) C ( C, B ) B ( A, C ) ( C, C ) A B C B C A B C { (A, A),(A, B),(A, C),(B, A),(B, B),(B, C),(C, A),(C, B),(C, C) } A B C مثال )3( ( B, A ) ( B, B ) ( B, C ) عدد االحتماالت يساوي 9 فضاء العينة 83

84 تأك د من فهم ك 1 األلعاب : في حديقة عامة توجد ارجوحة ولعبة القفز ولعبة السل م المعلق بكم طريقة مختلفة تستطيع أن تكمل هذه األلعاب مث ل النتائج مستعمال الرسم الشجري. األسئلة مشابهة للمثالين 1 أ لقيت قطعة معدنية مرتين م ث ل جميع النواتج الممكنة مستعمال الجدول. ما عدد المجموعات المختلفة لالحتماالت الممكنة تدرب وحل التمرينات أزياء : لدى مها حذاء أسود وحذاء أبيض وحذاء بني وتنورة سوداء وتنورة بنية. 4 بكم طريقة مختلفة يمكن لها أن تلبس مث ل النتائج مستعمال الجدول. يبين الجدول أدناه اشكال هندسية بلونين. الشكل اللون مث لث مربع دائرة أزرق أصفر 5 استعمل الرسم الشجري لتكوين جميع المجموعات االحتمالية الممكنة. 6 حروف : أختر حروفا من كلمة )) كركوك (( ومقابلها مع حروف 7 كلمة )) قط (( استعمل طريقة الشجرة وا كتب جميع االحتماالت الممكنة. غذاء : إذا كأن لديك إربعة اختيارات لطبق رئيس وثالثة اختيارات للفاكهة واختيارأن للحلويات كم وجبة غذاء مختلفة يمكن تكوينها من هذه االختيارات 8 مأنوع المعلومات التي يمكن أن تمدك بها الشجرة البيأنية 9 هل الشجرة البيأنية مفيدة عند تحد يد نواتج إلقاء قطعة نقدية واحدة فس ر إجابتك 84

85 تدرب وحل مسائل حياتية 10 إذا القيت 3 قطع نقدية من فئات مختلفة استعمل الرسم الشجري لتمث ل جميع االحتماالت الممكنة. 11 لديك ثالثة مكعبات مختلفة االحجام : صغير و وسط و كبير وبلونين هما اللون األحمر واللون األزرق استعمل الجدول لتمثيل جميع االحتماالت الممكنة. ف ك ر إذا كأن لديك حجر نرد وقطعة معدنية استعمل الرسم الشجري لكتابة جميع االحتماالت الممكنة الناتجة من رميهما مرة واحدة. مسألة مفتوحة : إذا كأنت نتائج احتمال رمي قطع نقود مرة واحدة كما يلي : ( صورة صورة كتابة ) ( صورة كتابة صورة ) ( صورة كتابة كتابة ) ( كتابة صورة صورة ) ( كتابة صورة كتابة ) ( كتابة كتابة صورة ) ( كتابة كتابة كتابة ) كم قطعة نقود ر ميت استعمل التمثيل الشجري المجاور واكمل االحتماالت الناقصة. عدد االحتماالت الممكنة يساوي 1 A ( 1, A ) ( 1, ) A C (, A ) (, ) A5G 40 E P T79FV HG R 6 W35 6KSQ 1 7 Y اذا كأن عدد احتماالت التمثيل الشجري لبيأنات معينة يساوي ستة احتماالت.اختر بيانات تحقق ذلك. كم تمثيال شجريا يعطي هذه النتائج م ث لها باختيار حروف وأرقام ا كتب الخطوات التي تتبعها في عمل رسم شجري يبين نواتج التجربة. 85

86 المقارنة بين االحتماالت Comparing between Probabilities الدر س [ 7-6] ف ك ر ة الدرس المقارنة بين االحتماالت المفردات التجربة الحدث االحتمال مؤكد مستحيل ممكن إمكأنية قوية إمكأنية ضعيفة ت ع ل م لدى مهند صندوقان يحتوي االول على كرات حمراء اللون فقط. ويحتوي الصندوق الثاني على كرات مختلفة االلوان كما مبين. لو سحب مهند كرة من كل صندوق ماهو احتمال سحب كرة حمراء الصندوق األول الصندوق الثأني المقارنة بين االحتماالت Comparing between Probabilities التجربة : هي نشاط يفضي إلى عدة نواتج ممكنة كل منها يسمى حدثا وهي مجموعة تتألف من نتيجة واحدة أو أكثر. احتمال الحدث : هو قياس لفرصة حدوثه. الحدث المؤكد : حدث سيقع بالتأكيد الحدث المستحيل : ال توجد فرصة لوقعه الحدث الممكن : توجد فرصة لوقوعه فإذا زادت كمية حدث ممكن قوي وإذا قل ت س م ي ممكن ضعيف. احتمال سحب مهند كرة حمراء من الصندوق األول هو احتمال مؤكد ألن جميع الكرات في الصندوق حمراء. مثال )1( i( احتمال سحب مهند كرة صفراء )مث ال( من الصندوق األول هو احتمال مستحيل ألنه ال توجد كرات صفراء في الصندوق. )ii احتمال سحب كرة حمراء من الصندوق الثأني هو احتمال ممكن ( قوي ) ألن عدد الكرات الحمراء أكثر من الكرات الخضراء في الصندوق. )iii احتمال سحب كرة خضراء من الصندوق الثأني هو احتمال ممكن ( ضعيف( ألن عدد الكرات الخضراء أقل من الكرات الحمراء في الصندوق. 86

87 مثال )( صندوق يحتوي على 3 مكعبات و 3 كرات و 5 مخاريط. i( أي حدث أكبر احتماال : سحب كرة أم مخروط بما أن المخاريط أكثر من الكرات فأن احتمال سحب مخروط أكثر احتماال من سحب كرة. )ii أي حدث أكبر احتماال : سحب كرة ام مكعب بما أن عدد الكرات يساوي عدد المكعبات فإن الحدثين متساويأن في االحتمال. مثال )3( يمكن استعمال النسبة المئوية في كتابة االحتمال. ا كتب احتمال كل حدث. ا كتب 0% أو 50% أو أقل من 50% أو أكبر من 50% أو % 100. i( كل طالبات الصف األول المتوسط حاضرات في المدرسة اليوم مريم طالبة في الصف األول مااحتمال أن تكون مريم حاضرة في المدرسة اليوم االحتمال مؤكد لذا فإن مريم حاضرة في المدرسة 100%. )ii طائرة الخطوط الجوية العراقية على متنها عدد من الركاب لم يكن محمد على متنها بعد اإلقالع. مااحتمال أن يكون على متن الطائرة بعد إقالعها االحتمال مستحيل لذا فإن محمدا حضوره على متن الطائرة. 0% )iii مااحتمال ظهور العدد )6( عند رمي حجر نرد االحتمال ممكن )ضعيف( لذا فإن احتمال ظهوره أقل من % 50. )iv كيس يحتوي على 10 كرات حمراء و 10 كرات صفراء مااحتمال سحب كرة حمراء االحتمال ممكن أن يكون متساويا لذا فأن احتمال سحب كرة حمراء هو 50%. v( صندوق فيه 7 مكعبات 3 كرات مااحتمال سحب مكعب االحتمال ممكن )قوي( لذا فإن احتمال سحب مكعب أكبر من 50%. مثال )4( د و ر المؤشر مرة واحدة في القرص الدوار المجاور وا كتب احتمال : i( ما احتمال أن يقف المؤشر على اللون األحمر ممكن )قوي( أكبر من 50% )ii ما احتمال أن يقف المؤشر على اللون األخضر ممكن )ضعيف( أقل من 50% )iii ما احتمال أن يقف المؤشر على اللون األسود مستحيل % 0 87

88 تأك د من فهم ك ا كتب احتمال كل حدث : مؤكد مستحيل ممكن ممكن قوي ممكن ضعيف. 1 العدد 13 فردي.... األسئلة = 3 6 مشابهة للمثالين = = دور القرص مرة واحدة واجب عما يلي : المؤشر يقف على اللون األخضر.... المؤشر يقف على اللون االصفر.... المؤشر يقف على اللون األزرق.... ا كتب احتمال كل حدث. ا كتب 0% أو 50% أو أقل من 50% أو أكبر من 50% أو % 100. احتمال يوم الثالثاء يأتي بعد يوم االثنين هو.... احتمال سحب كرة صفراء من صندوق يحتوي كرات حمراء اللون فقط هو.... احتمال ظهور العدد 5 عند رمي حجر النرد هو.... لجنة مكونة من 3 رجال و 3 نساء احتمال اختيار رجل واحد هو.... األسئلة مشابهة للمثالين تدرب وحل التمرينات ح و ط اإلجابة الصحيحة وا كتب الكلمة المناسبة ( مؤكد مستحيل ممكن ) طقس : درجة الحرارة في أحد أيام الصيف هي : 39c, c أعداد : العدد صفر هو : فردي زوجي. حدائق : في حديقة صغيرة 7 نبتات ورد حمراء اللون 3 نبتات ورد بيضاء إذا أ خترت نبتة عشوائيا فما أكبر االحتماالت أن تكون النبتة بلون أحمر أو أبيض علل إجابتك. ا كتب احتمال كل حدث : ا كتب 0% أو 50% أو أقل من أو أكبر من 50% أو % 100. عدد أيام الشهر يساوي 30 يوما... بغداد عاصمة جمهورية العراق... العدد 5 أحد عوامل العدد... 1 كيس فيه 3 كرات صفراء و 3 كرات خضراء 18 سحب كرة صفراء... تقويم ميالدي 88

89 تدرب وحل مسائل حياتية لعبة : افترض أنك دورت القرص المجاور مرة واحدة صف احتمال وقوف المؤشر عند كل لون ا كتب ( مؤكد ممكن قوي ممكن ضعيف مستحيل ). أخضر وليس أحمر... أزرق... أحمر وليس أخضر C A A A ليس جوزي... بطاقات : ا كتب احتمال كل حدث : ا كتب 0% أو 50% أو أقل من 50% أوأكبر من 50% أو % 100 سحب خالد بطاقة من البطاقات التالية بشكل عشوائي. D A B C الحرفA... الحرف... B الحرف... C الحرف A أو... D الحرف... H ف ك ر تحد : صف مجموعة من 7 كرات تمتاز بما يلي : في المجموعة 4 ألوأن مختلفة. عند سحب كرة يكون احتمال سحب لون أكثر إمكأنية من أي لون آخر. اثنأن فقط من األلوأن األخرى متساوية اإلمكأنية أي حدث احتماله أكبر ظهور العدد 3 على المكعب 4 لديك المكعب 33 وشبه المكعب ام على شبه المكعب فسر اجابتك ا كتب مسألة من واقع الحياة يمكن حلها بوصف االحتماالت ثم حل المسألة. 89

90 خطة حل المسألة ( أنشئ إنموذجا ) Aplan for Problem Solving ( Make a Model ) الدر س [ 7-7] ف ك ر ة الدرس حل المسألة بإنشاء إنموذج ت ع ل م لدى محمد 5 قطعة منها على شكل مث لثات ودوائر. فإذا كأن مقابل كل 3 مث لثات دائرتين ما عدد المث لثات لدى محمد أفهم ما معطيات المسألة مجموعة من القطع المث لثة والدائرية عددها 5 قطعة. مقابل كل 3 مث لثات دائرة. ماالمطلوب من المسألة عدد المث لثات لدى محمد. خطط كيف تحل المسألة أنشئ إنموذجا لكل مسألة. حل استعمل القطع فاضع 3 مث لثات مقابل دائرة وبالشكل اآلتي : حصلت على 5 مجموعات في كل منها 3 مث لثات و دائرة اجمع عدد المث لثات فيكون عددها : 15 لذا فإن عدد المث لثات يساوي 15 مث لثا. تحقق لدينا 15 قطعة مث لثة و 10 قطع دائرية اجمع : 5 = إذن اإلجابة الصحيحة 90

91 م سائل كم قطعة صابون يمكن وضعها في صندوق يتسع إلى 7 طبقات من الصابون إذا كأنت الطبقة األولى تحتوي على 10 قطع 1 طول المسافة حول ملعب دائري تساوي 50m إذا توقف كل شخص عن الشخص اآلخر مسافة 5m فكم شخصا سيكون في الملعب يريد طارق ترتيب 18 بالطة مربعة الشكل على هيئة مستطيل بأصغر محيط ممكن. كم بالطة سيضع في كل صف 3 تسابق اربعة طلبة فأنهى أحمد السباق بعد خالد وقبل محمد وأنهى سعد السباق بعد أحمد وقبل محمد. من الفائز في السباق 4 صندوق يحتوي على 30 كراة ملونة حمراء وخضراء فإذا كأنت كل أربع كرات حمراء تقابل كرتأن خضراء ما عدد الكرات الخضراء في الصندوق 5 91

92 المفردات Chapter Review مراجعة الف صل English عربي English عربي Certain Event Frequency Table الحدث المؤكد الجدول التكراري Experimen Class التجربة الفئة Stem Frequency الساق التكرار Leaf Circular Sector الورقة القطاعات الدائرية Probable Frequency Polyon ممكن المضلع التكراري More likely Outcome ممكن قوي النتيجة Less likely Tree ممكن ضعيف الشجرة Circle Graph Probability الدائرة البيأنية االحتمال Center of Class Event مركز الفئة الحدث Sector Impossible Event القطاع الحدث المستحيل الدرس ]7-1[ جمع البيأنات وتنظيمها مثال: إذا كأنت أعمار المراجعين في أحد المراكز الصحية خالل مدة معينة كما يلي : م ث ل البيانات بالجدول التكراري فئة األعمار إشارات العد التكرار ما الفئة العمرية التي راجعت المركز أكثر 1-10 ماعدد المراجعين الذين تزيد أعمارهم عن 40 سنة 5 مراجعين ماعدد المراجعين الذين يبلغ عمر كل منهم 30 سنة 1 شخص واحد تدريب: لدى معرض مجموعة من السيارات المستعملة كأنت سنوات صنعها كما يلي : م ث ل البيأنات في الجدول التكراري استعمل المجموعات 70-79, 80-89, ماعدد السيارات التي سنة صنعها تزيد عن 85 ماعدد السيارات التي سنة صنعها 81 ماعدد السيارات التي سنوات صنعها بين

93 الدرس ]7-[ القطاعات الدائرية مثال : في المكتبة المدرسية 300 كتاب 50% منها منهجية و 0% كتب أدبية 30% كتب متنوعة. احسب عدد الكتب من كل نوع في المكتبة. تدريب 1 :م ث ل البيأنات الواردة في المثال المجاور بالقطاعات الدائرية. تدريب : الدائرة البيانية تمثل العصير المفضل لدى 40 شخص. اي العصائر اكثر تفضيال ماعدد االشخاص الذين يفضلون عصير البرتقال ماقياس زاوية قطاع عصير البطيخ = = = 90 عدد الكتب المنهجية : عدد الكتب األدبية : عدد الكتب المتنوعة : بطيخ ليمون تفاح 15% 30% برتقال 40% 15% الدرس ]7-3[ المضلعات التكرارية تدريب:استعمل الجدول المجاور لتمثيل البيأنات بالمضلع التكراري. التكرار فئة مثال : الجدول ادناه اعمار ثالث مجموعات من الرجال. مثل البيانات في الجدول التكراري فئة األعمار النقاط التكرار مركز الفئات التكرار فئة تكرار = = = = 8 66 = = 33 مركز فئة (3,11) (8,16) (33,5) 93

94 الساق واألوراق الدرس ]7-4[ مثال : تمث ل البيأنات التالية أعمار عدد من العاملين في إحد الشركات تدريب 1 :البيأنات التالية تمث ل أوزأن عدد من الطلبة بالكيلوغرام تدريب : ا كتب جميع البيانات التي مثلت في الجدول التالي مث ل البيأنات بالساق واألوراق وأجب عما يلي: ماعمر اصغر وأكبر العاملين سنا في الشركة ما فئة األعمار التي تكررت أكثر من غيرها األوراق عمر أصغر العاملين هو 3 سنة عمر أكبر العاملين هو 5 سنة فئة 30 سنة. الساق مث ل البيأنات بالساق واألوراق. ماعدد الطلبة الذين أوزأنهم أقل من 40kg ماأكبر وأصغر وزن من بين أوزأن الطلبة األوراق الساق الدرس ]7-5[ نواتج التجربة وتمثيلها مثال :اذا القيت قطعتين نقديتبن مرة واحدة مث ل نتائج التجربة في الجدول اآلتي : النتائج القطعة الثأنية القطعة األولى )صورة صورة ) صورة صورة )صورة كتابة ) كتابة صورة )كتابة صورة ) صورة كتابة )كتابة كتابة ) كتابة كتابة تدريب: اكمل نتائج التجربة في المثال السابق بطريقة الشجرة. صورة كتابة (, ) (, ) (, ) (, ) الدرس ]7-6[ المقارنة بين االحتماالت مثال :صندوق يحتوي على أشكال مجسمة 7 كرات و مكعب و مخروط واحد. مااحتمال سحب كرة واحدة ممكن قوي اكبرمن مااحتمال سحب مخروط ممكن ضعيف. مااحتمال سحب اسطوأنة مستحيل 0% مااحتمال سحب مجسم مؤكد 100% تدريب: في صندوق كرات ملونة 5 كرات خضراء و 3 كرات صفراء و كرة واحدة بيضاء. مااحتمال سحب كرة حمراء ما النسبة المئوية. مااحتمال سحب كرة بيضاء ما النسبة المئوية. مااحتمال سحب كرة بأي لون ما النسبة المئوية. 94

95 Chapter Test اختبار الف صل 1 م ث ل البيأنات التالية في الجدول التكراري : 3, 1, 17, 13, 0, 18, 8, 5, 11, 16, 19, 7, 10, 15 18, 14, 9, 14, 10, 0 أي الفئات أكثر تكرارا محل لبيع الحاجات الرياضية فيه : 35% قمصأن رياضية و 0% أحذية رياضية و 45% أدوات رياضية أخرى. مث ل البيأنات بالقطاعات الدائرية. إذا احتوى المحل على 00 حاجة مختلفة ماعدد األحذية الرياضية فيه ما قياس الزاوية التي تمث ل النسبة 35% م ث ل البيأنات المجاورة بالمضلع التكراري ثم صف التغيرات في البيانات فئة التكرار 6 اختار محمد جوربا وحذاء بشكل عشوائيا اذكر جميع االحتماالت مستعمال طريقة الشجرة علما أن لديه جواريب سوداء اللون واخرى بيضاء وثالثة أحذية حذاء أسود اللون وحذاء بني اللون و واألخر أبيض اللون. صندوق يحتوي على 3 مكعبات و 7 كرات مجسم اسطوأني الشكل. مااحتمال سحب كرة واحدة وما النسبة المئوية مااحتمال سحب مجسم على شكل مخروط وما النسبة المئوية مااحتمال سحب مجسم اسطوأني وما النسبة المئوية مااحتمال سحب مجسم وما النسبة المئوية مث ل البيأنات في المثال )1( بالساق واألوراق. ماأكبر قيمة وما أصغر قيمة ماالقيمة التي أقل تكرارا الجدول المجاور يبين قياسات السراويل الرياضية المباعة على مدى ثالثة اسابيع قياسات السراويل المباعة م ث ل البيأنات في الساق والورقة. ما عدد السراويل الرياضية التي قياسها أكبر من 40 أي القياسات أكثر مبيعا خالل االسأبيع الثالثة ماعدد السراويل المباعة على مدى ثالثة أسابيع التي قياسها أقل من 40 95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112